8.17.Khai triển$(z^{2}+1+\frac{1}{z})^{4}$z2+1+1z4">

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta sử dụng công thức khai triển của $(a + b)^{4}$ với $a = z^{2} + 1$ và $b = \frac{1}{z}$. Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của $(a + b)^{4}, (a + b)^{3}, (a + b)^{2}$ với $a = z^{2}, b = 1$ để có:
\[(z^{2}+1)^{4} = C_{4}^{0}(z^{2})^{4} + C_{4}^{1}(z^{2})^{3}1 + C_{4}^{2}(z^{2})^{2}1^{2} + C_{4}^{3}z^{2}1^{3} + C_{4}^{4}1^{4}\]
\[= z^{8} + 4z^{6} + 6z^{4} + 4z^{2} + 1\]

\[(z^{2} + 1)^{3} = C_{3}^{0}(z^{2})^{3} + C_{3}^{1}(z^{2})^{2}1 + C_{3}^{2}z^{2}1^{2} + C_{3}^{3}1^{3}\]
\[= z^{6} + 3z^{4} + 3z^{2} + 1\]

\[(z^{2} + 1)^{2} = z^{4} + 2z^{2} + 1\]

Vậy ta có:
\[(z^{2}+1+\frac{1}{z})^{4} = [(z^{2}+1)+\frac{1}{z}]^{4}\]

\[= C_{4}^{0}.(z^{2}+1)^{4} + C_{4}^{1}(z^{2}+1)^{3}\frac{1}{z} + C_{4}^{2}(z^{2}+1)^{2}\frac{1}{z^{2}} + C_{4}^{3}(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}} + C_{4}^{4}\frac{1}{z^{4}}\]

\[= (z^{2}+1)^{4} + 4(z^{2}+1)^{3}\frac{1}{z} + 6(z^{2}+1)^{2}\frac{1}{z^{2}} + 4(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}\]

\[= (z^{2}+1)^{4} + 4(z^{2}+1)^{3}\frac{1}{z} + 6(z^{2}+1)^{2}\frac{1}{z^{2}} + 4(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}\]

\[= z^{8} + 4z^{6} + 4z^{5} + 6z^{4} + 12z^{3} + 10z^{2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{z^{2}} + \frac{4}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}\]

Câu trả lời:
\[(z^{2}+1+\frac{1}{z})^{4} = z^{8} + 4z^{6} + 4z^{5} + 6z^{4} + 12z^{3} + 10z^{2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{z^{2}} + \frac{4}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}\]