7.38.Biết rằng đa thức $f(x)=x^{4}+px^{3}-2x^{2}+1$ có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối...

Để chứng minh rằng $p=0$ khi đa thức $f(x)=x^4+px^3-2x^2+1$ có hai nghiệm đối nhau là a và -a, ta thực hiện các bước sau:

1. Gọi hai nghiệm đối nhau của đa thức $f(x)$ là a và -a, với a khác 0.
2. Từ đó, ta có $f(a)=0=f(-a)$.
3. Thay a vào đa thức $f(x)$ ta được:
$f(a)=a^4+pa^3-2a^2+1=0$
$f(-a)=(-a)^4+p(-a)^3-2(-a)^2+1=0$
4. So sánh hai đa thức trên ta có:
$a^4+pa^3-2a^2+1=a^4-pa^3-2a^2+1$
5. Từ đó suy ra $pa^3=-pa^3$ hay $2pa^3=0$.
6. Vì a khác 0, nên ta có $p=0$.

Vậy ta đã chứng minh được rằng nếu đa thức $f(x)$ có hai nghiệm đối nhau là a và -a thì p = 0.