6.27.Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:$b^{2}x^{2}–...

Để chứng minh rằng $b^{2}x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})x + c^{2} > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ khi biết a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta thực hiện các bước sau:

Đặt $f(x) = b^{2}x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})x + c^{2}$ là một tam thức bậc hai ẩn x dạng $f(x) = Ax^{2} + Bx + C$.

Giải phương trình bậc hai $b^{2}x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})x + c^{2} = 0$ ta có:
$A = b^{2} > 0$ (vì b là độ dài cạnh của tam giác)
$∆ = B^{2} - 4AC = [-(b^{2} + c^{2} - a^{2})]^{2} - 4b^{2}c^{2}$
$= (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} - (2bc)^{2}$
$= (b^{2} + c^{2} - a^{2} - 2bc)(b^{2} + c^{2} - a^{2} + 2bc)$
$= [(b - c)^{2} - a^{2}][(b + c)^{2} - a^{2}]$
$= (b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)$

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:
$a + b - c > 0$
$b + c - a > 0$
$b + c + a > 0$
$b - c - a = b - (c + a) < 0$

Do đó $∆ < 0$.

Vậy ta có $b^{2}x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})x + c^{2} > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ (điều cần phải chứng minh).