Bài tập 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta...

Để chứng minh công thức trên, ta sử dụng định lí hai đại lượng có thể biểu diễn được thành tích vô hướng và tích vector:

Cho tam giác ABC, ta có:
$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 = AB^2 \cdot AC^2$

$(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = (AB \cdot AC \cdot \cos\angle BAC)^2$

Với $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})= \cos\angle BAC$

Khi đó, ta có:
$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = AB^2 \cdot AC^2 (1 - \cos^2 \angle BAC) = AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2 \angle BAC$

Từ đó suy ra:
$\frac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin^2 \angle BAC = S_{ABC}$

Vậy ta đã chứng minh công thức $S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$ cho mọi tam giác ABC.