Bài 4. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh tam giác...
Câu hỏi:
Bài 4. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Giang
Phương pháp giải:Gọi H và K lần lượt là các trung điểm của AB và AC, vì AM là đường trung tuyến nên AH = HB và AK = KC.Gọi I là giao điểm của đường trung tuyến AM và đường phân giác BC. Ta cần chứng minh I trùng với trọng tâm của tam giác ABC.Ta có hai tam giác AHM và AKM đồng dạng (theo góc và cạnh) nên AH/AK = AM/AM = 1.Do đó, ta có AH = AK, tức H và K cùng nằm trên đường thẳng IM.Từ đó suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.Vì trọng tâm của tam giác ABC chia đường trung tuyến AM theo tỉ lệ 2:1 nên ta có AI = 2IM.Như vậy, tam giác ABC là tam giác cân tại A.Câu trả lời: Tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬPBài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác và gọi I là giao điểm của...
- Bài 2. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=62^{\circ}$, ba đường phân giác đồng quy tại I. Tính số đo...
- Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ...
Nói cách khác, tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau, tức là tam giác cân.
Từ AM = BM, ta suy ra tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A.
Vậy ta có BC = 2AM. Mà trong hình chữ nhật ABMC, ta có BM = AC. Do đó, ta có AM = BC/2 = BM.
Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau.
Ta có AM là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC, suy ra tứ giác ABMC là hình chữ nhật.