9.9. Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tùy ýthuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng...
Câu hỏi:
9.9. Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tùy ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là một số không đổi.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Ánh
Phương pháp giải:Ta có các trường hợp sau:1. Khi M trùng với B hoặc C: Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là BI hoặc CK, có thể chứng minh bằng bài toán 9.8.2. Khi M khác B và khác C: Kẻ MP vuông góc với AC và MQ vuông góc với AB. Ta kẻ MR // AC và MR cắt BI tại S. - Ta có $\angle C = \angle RMB$ (do hai góc đồng vị) - Mà $\angle C = \angle B$, nên $\angle B = \angle RMB$, từ đó suy ra $\triangle RBM$ cân tại RM. - MQ là khoảng cách từ M đến RB, BS là khoảng cách từ B đến RM. - Theo bài toán 9.8, ta có MQ = BS. - Lúc này, ta thấy MR // AC, MP và SI là khoảng cách giữa hai đường thẳng nên MP = SI. - Từ đó, ta có MP + MQ = BS + SI = BI = CK.Vậy, ta đã chứng minh được rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB và AC là một số không đổi.
Câu hỏi liên quan:
- BÀI TẬP9.5.Cho hai đường thẳng song song c và d. Chứng minh rằng khoảng cách từ mọi điểm...
- 9.6.Cho 2 đểm phân biệt M, M' ở cùng phía đối với đường thẳng d (M, M' không thuộc d). Chứng...
- 9.7. Dùng thước hai lề ta có thể dựng cặp đường thẳng song song với khoảng cách h không...
- 9.8. Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cáchtừ B đến đường thẳng AC bằng...
Cách 4: Sử dụng vectơ. Gọi vectơ AB = a, AM = b. Ta có b = t*a + c*(b-a) với t là số thực trong khoảng [0,1]. Khoảng cách từ M đến AB là |b - t*a| = |c*(b-a)| = c|a|. Tương tự, khoảng cách từ M đến AC là |b - c*(b-a)| = |t*a| = t|a|. Tổng khoảng cách này là c|a| + t|a| = (c+t)|a|, một số không đổi.
Cách 3: Sử dụng định lí hình học cơ bản về tam giác vuông. Gọi H là hình chiếu của M lên AB, K là hình chiếu của M lên AC. Khi đó, tam giác AMH và AMK là 2 tam giác vuông cân tại M. Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có AM^2 = AH^2 + MH^2 và AM^2 = AK^2 + MK^2. Do đó AH^2 + MH^2 = AK^2 + MK^2, hay tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là một số không đổi.
Cách 2: Dùng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Khoảng cách từ M đến AB là |MK| = |MA|cosB, khoảng cách từ M đến AC là |MH| = |MA|cosC. Tổng hai khoảng cách này là |MA|(cosB + cosC). Vì tam giác ABC cân tại A nên B = C, suy ra cosB = cosC và tổng này luôn là một số không đổi.
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của M lên AB, K là hình chiếu của M lên AC. Ta có AH = HK, AM = MK. Do tam giác ABC cân tại A nên AH = AK, do đó tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là 2HK hay là 2AH, một số không đổi.