5. Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như...

Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện các bước như sau:

a) Ta tính a1, a2, a3:
- Sau bước 1, trong bình có $\frac{1}{2}$ lít nước, nên a1 = $\frac{1}{2}$
- Sau bước 2, trong bình có $\frac{(\frac{1}{2}+1)}{2}$ = $\frac{3}{4}$ lít nước, nên a2 = $\frac{3}{4}$
- Sau bước 3, trong bình có $\frac{(\frac{3}{4}+1)}{2}$ = $\frac{7}{8}$ lít nước, nên a3 = $\frac{7}{8}$

Dựa vào các kết quả trên, ta có thể dự đoán công thức tính an với n ∈ ℕ* là: an = $\frac{2^{n}-1}{2^n}$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học:
- Với n = 1, ta có a1 = $\frac{1}{2}$ = $\frac{2^1-1}{2^1}$, công thức đúng với n = 1.
- Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 1, tức là ak = $\frac{2^k-1}{2^k}$.
- Cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là a(k+1) = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.
- Ta có: a(k+1) = $\frac{2ak+1}{2}$ = $\frac{2(\frac{2^k-1}{2^k})+1}{2}$ = $\frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}$ = $\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$, công thức đúng với n = k + 1.
- Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi trên là:
- a) a1 = $\frac{1}{2}$, a2 = $\frac{3}{4}$, a3 = $\frac{7}{8}$
- b) Công thức tính an là: an = $\frac{2^{n}-1}{2^n}$, và được chứng minh đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.