4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $...

Để chứng minh bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $ $\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n $\epsilon$ N*, ta sử dụng phương pháp quy nạp (hay phương pháp induction).

Bước 1: Xét trường hợp cơ sở: Với n = 1, ta có $1$ = $1$ = $\frac{1+1}{2}$. Do đó, bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k $\geq$ 1, tức là $1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$.

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Ta cần chứng minh $1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{k+1}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$.

Áp dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{k+1}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$ + $\frac{1}{k+1}$ = $\frac{(k+1)^2+2}{2(k+1)}$ = $\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$ $\geq$ $\frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}$ $\geq$ $\frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}$ = $\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}$ = $\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}$ = $\frac{k+2}{2}$ = $\frac{k+1+1}{2}$.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n $\geq$ 1.