4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $...
Câu hỏi:
4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $ $\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n$\epsilon N*$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Ánh
Để chứng minh bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $ $\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n $\epsilon$ N*, ta sử dụng phương pháp quy nạp (hay phương pháp induction).Bước 1: Xét trường hợp cơ sở: Với n = 1, ta có $1$ = $1$ = $\frac{1+1}{2}$. Do đó, bất đẳng thức đúng với n = 1.Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k $\geq$ 1, tức là $1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$.Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Ta cần chứng minh $1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{k+1}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$.Áp dụng giả thiết quy nạp, ta có:$1$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{k+1}$ $\leq$ $\frac{k+1}{2}$ + $\frac{1}{k+1}$ = $\frac{(k+1)^2+2}{2(k+1)}$ = $\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$ $\geq$ $\frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}$ $\geq$ $\frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}$ = $\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}$ = $\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}$ = $\frac{k+2}{2}$ = $\frac{k+1+1}{2}$.Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n $\geq$ 1.
Câu hỏi liên quan:
- 1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọin$\epsilon N*$a,...
- 2. Chứng minh rằng với mọi n$\epsilon N*$a, $3^n$-1-2n chia hết chp 4b, $7^n$-$4^n$-$3^n$ chia hết...
- 3. Chứng minh rằng $8^n$ $\geq $ $n^3$ với mọi n $\epsilon N*$
- 5. Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như...
- 6.Tìm hệ số của x3trong khai triển:a, $(1-3x)^8$b, $(1+\frac{x}{2})^7$
- 7.Tìm hệ số của $x^5$trong khai triển $(2x+3)(x-2)^2$
- 7.Tìm hệ số của $x^5$trong khai triển $(2x+3)(x-2)^2$
- 8.a)Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 2x)^6$, các số hạng được viết theo thứ...
- 9.Trong khai triển biểu thức $(3x – 4)^{15}$thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của...
- 10.Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*
Bình luận (0)