Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 4 Hai mặt phẳng song song

Câu hỏi mở đầu

Bề mặt trên của mỗi bậc thang này được đặt như thế nào so với mặt đất?

1. Hai mặt phẳng song song

Khám phá 1 trang 113 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hộp giấy có các mặt là hình vuông ở Hình 1a được vẽ lại với các đỉnh A,B,C,D,A',B',C',D' như Hình 1b. Gọi tên cặp mặt phẳng:

a) Có ba điểm chung không thẳng hàng

b) Là hai mặt phẳng phân biệt và có một điểm chung

c) Không có bất kì điểm chung nào

Vận dụng 1 trang 114 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm một số mặt phẳng song song có trong hình chụp căn phòng ở Hình 4

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Khám phá 2 trang 114 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q). Giả sử (P) và (Q) có điểm chung M thì (P) cắt (Q) theo giao tuyến c (Hình 5).

a) Giải thích tại sao đường thẳng c phải cắt ít nhất 1 trong 2 đường thẳng a,b. Điều này có trái với giả thiết a và b cùng song song với (Q) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của (P) và (Q).

Thực hành 1 trang 115 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD)

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Khám phá 3 trang 115 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Cho điểm A ở ngoài mặt phẳng (Q). Trong (Q) vẽ hai đường thẳng cắt nhau a' và b'. Làm thế nào để vẽ hai đường thẳng a và b đi qua A và song song với (Q)?

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa mp(a,b) và (Q)

Khám phá 4 trang 115 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thoả mãn (P)//(Q, $(R) \cap (P) = a$ và $(R) \cap (Q) = b$. Xét vị trí tương đối của a và b

Thực hành 2 trang 116 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng $(\alpha)$ di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thẳng AC. Chứng minh các giao tuyến của $(\alpha)$ với hình chóp tạo thành một tam giác đều

Vận dụng 2 trang 116 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Khi dùng dao cắt các lớp bánh (Hình 11), giả sử bề mặt của các lớp bánh là các mặt phẳng song song và con dao được xem như mặt phẳng (P), nêu kết luận về các giao tuyến tạo bởi (P) với các bề mặt của các lớp bán. Giải thích

4. Định lí Thalès trong không gian

Khám phá 5 trang 116 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt cắt hai đường thẳng a và a' tại các điểm A, B, C và A', B', C'. Gọi $B_{1}$ là giao điểm của AC' với (Q) (Hình 12)

a) Trong tam giác ACC', có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB}{BC}$ và $\frac{AB_{1}}{B_{1}C'}$

b) Trong tam giác AA'C', có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{AB_{1}}{B_{1}C}$ và $\frac{A'B'}{B'C'}$

c) Từ đó,nêu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{AB}{A'B'},\frac{BC}{B'C'},\frac{AC}{A'C'}$

Thực hành 3 trang 117 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABC có SA =9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy các điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi quá M, N, cắt SB theo thứ tự tại M', N' và cắt SC theo thứ tự tại M'', N''. Tính độ dài các đoạn thẳng SM', M''N'', N''C

5. Hình lăng trụ và hình hộp

Khám phá 6 trang 117 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hình dạng của các đồ vật như hộp phấn, lồng đèn, hộp quá, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau

Khám phá 7 trang 118 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:

a) Bốn mặt bên và mặt đấy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành

b) Các mặt AA'C'D và BB'D'D là hình bình hành

c) Bốn đoạn thẳng A'C, AC',B'D, BD' có cùng trung điểm

Thực hành 4 trang 119 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và một mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến MN, NP, PQ, QR, RS, SM như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác MNPQRS song song với nhau.

Vận dụng 3 trang 119 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Bài tập

Bài tập 1 trang 119 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A,B,C,D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng:

AA' + CC' = BB' + DD'

Bài tập 2 trang 120 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD

a) Chứng minh rằng (OMN)//(SBC)

b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).

Bài tập 3 trang 120 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M', N'.

a) Chứng minh (CBE)//(ADF)

b) Chứng minh (DEF)//(MNN'M')

Bài tập 4 trang 120 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA' và B'D'C. Chứng minh $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

Bài tập 5 trang 120 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F', Bình gắn hai thanh tre $A_{1}D_{1}, F_{1}C_{1}$ song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại $O_{1}$ (Hình 19)

a) Xác định giao tuyến của mp$(A_{1}D_{1}, F_{1}C_{1})$ với các mặt bên của lăng trụ

b) Cho biết $A'A_{1} = 6AA_{1}$ và AA' = 70 cm. Tính $CC_{1}$ và $C_{1}C'$

Bài tập 6 trang 120 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế.