Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 2 Cấp số cộng

Câu hỏi mở đầu

Mở đầu trang 52 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh hoạ dưới đây. Bạn hãy đếm và nếu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên. Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

1. Cấp số cộng

Khám phá 1 trang 52 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

a) 2; 5; 8; 11; 14

b) 2; 4; 6; 8

c) 5; 10; 15; 20; 25

d) -5; -2; 1; 4; 7; 10

Thực hành 1 trang 53 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=9n-9$

c) Dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=an+b$, trong đó a và b là các hằng số

Thực hành 2 trang 53 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó

Vận dụng 1 trang 53 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra vòng 2 có 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ 3, các ong thợ sẽ tạo ra 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục (Hình 2). Số ô trên các vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Khám phá 2 trang 54 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho cấp số cộng $(u_{n})$. Hãy cho biết các hiệu số sau đây gấp bao nhiêu lần công sai d của $(u_{n})$:

$u_{2}-u_{1};u_{3}-u_{1};u_{4}-u_{1};...;u_{n}-u_{1}$

Thực hành 3 trang 54 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng $(a_{n})$ có $a_{1}=5$ và $d=-5$

b) Cấp số cộng $(b_{n})$ có $b_{1}=2$ và $b_{10}=20$

Vận dụng 2 trang 54 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng $(c_{n})$ có $c_{4}=80$ và $c_{6}=40$

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Khám phá 3 trang 54 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai d

a) Tính các tổng $u_{1}+u_{n}; u_{2}+u_{n-1}; u_{3}+u_{n-2};...;u_{k}+u_{n-k+1}$ theo $u_{1}, n$ và $d$

b) Chứng tỏ rằng $2(u_{1}+u_{2}+...+u_{n})=n(u_{1}+u_{n})$

Thực hành 4 trang 55 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên

b) Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{3} + u_{28} = 100$. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng $(v_{n})$ có $S_{6} = 18$ và $S_{10} = 110$. Tính $S_{20}$

Vận dụng 3 trang 55 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế,... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình 4).

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng

b) Tính tổng số ghế có trong rạp

Bài tập

Bài tập 1 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; -3; -7; -11; -15

Bài tập 2 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho $(u_{n})$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 4$ và công sai d = -10. Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Bài tập 3 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = -3$ và công sai $d=2$

a) Tìm $u_{12}$

b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Bài tập 4 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) $u_{n} = 3-4n$

b) $u_{n}=\frac{n}{2}-4$

c) $u_{n}=5^{n}$

d) $u_{n}=\frac{9-5n}{3}$

Bài tập 5 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_{n})$, biết:

a) $\left\{\begin{matrix}u_{3}-u_{1}=20\\u_{2}+u_{5}=54\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}u_{2}+u_{3}=0\\u_{2}+u_{5}=80\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}u_{5}-u_{2}=3\\u_{8}.u_{3}=24\end{matrix}\right.$

Bài tập 6 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45cm, 43cm, 41cm,...., 31cm.

a) Các thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể

Bài tập 7 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144;... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng)

a) Tính công sai của cấp số cộng trên

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Bài tập 8 trang 56 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Ở một loài thực vật lưỡng bột, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?