Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 1 Dãy số

Câu hỏi mở đầu:

Gọi $u_{1};u_{2};u_{3};....;u_{n}$ lần lượt là diện tích các hình vuông có độ dài cạnh là 1;2;3;...;n. Tính $u_{3}$ và $u_{4}$

1. Dãy số là gì?

Khám phá 1 trang 45 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số:

$u: \mathbb{N}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$

      $n \mapsto u(n) = n^{2}$

Tính $u(1); u(2); u(50); u(100)$

Khám phá 2 trang 46 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số:

$v: {1;2;3;4;5} \rightarrow \mathbb{R}$

                      $n \mapsto v(n) = 2n$

Tính $v(1), v(2), v(3),v(4),v(5)$.

Thực hành 1 trang 46 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số:

$u: \mathbb{N}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$

         $n \mapsto u_{n} = n^{3}$

a) Hãy cho biết dãy trên là dãy hữu hạn hay vô hạn

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy đã cho

Vận dụng 1 trang 46 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên

2. Cách xác định dãy số

Khám phá 3 trang 46 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho các dãy số $(a_{n}), (b_{n}),(c_{n}), (d_{n})$ được xác định như sau:

• $a_{1}=0; a_{2}=1; a_{3}=2; a_{4}=3;a_{5}=4$
• $b_{n}=2n$
• $\left\{\begin{matrix}c_{1}=1\\ c_{n} = c_{n-1}+1 (n\geq 2)\end{matrix}\right.$
• $d_{n}$ là chu vi của đường tròn có bán kính n

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên

Thực hành 2 trang 47 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=3\\u_{n+1}=2u_{n} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$

a) Chứng minh $u_{2}=2.3; u_{3}=2^{2}.3;u_{4}=2^{3}.3$

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$.

Vận dụng 2 trang 47 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi $u_{n}$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số $(u_{n})$ bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

b) Viết hệ thức truy hồi

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Khám phá 4 trang 48 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai dãy số $(a_{n})$ và $(b_{n})$ được xác định như sau: $a_{n} = 3n+1$; $b_{n} = -5n$

a) So sánh $a_{n}$ và $a_{n+1}$, $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$

b) So sánh $b_{n}$ và $n_{n+1}$, $\forall x\in  \mathbb{N}^{*}$

Thực hành 3 trang 48 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2n-1}{n+1}$

b) $(x_{n})$ với $x_{n} = \frac{n+2}{4^{n}}$

c) $(t_{n})$ với $t_{n} = (-1)^{n}.n^{2}$

Vận dụng 3 trang 49 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một chồng gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi $u_{1}=25$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, $u_{n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng giảm của dãy số này

b) Gọi $v_{1}=14$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, $v_{n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng giảm của dãy số này

4. Dãy số bị chặn

Khám phá 5 trang 49 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Thực hành 4 trang 49 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n}= cos\frac{\pi }{n}$

b) $(b_{n})$ với $b_{n}= \frac{n}{n+1}$

Bài tập

Bài tập 1 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm $u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n})$ của dãy số:

$\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}} (n\geq 1)\end{matrix}\right.$

Bài tập 2 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$. Tìm $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Bài tập 3 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

Bài tập 4 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n}=sin^{2}\frac{n\pi }{3}+cos\frac{n\pi }{4}$

b) $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{6n-4}{n+2}$

Bài tập 5 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{2n-1}{n+1}$

Chứng minh $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn

Bài tập 6 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm giá trị của a để:

a) $(u_{n})$ là dãy số tăng

b) $(u_{n})$ là dãy số giảm

Bài tập 7 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?