Giải bài tập ôn tập cuối năm

Bài tập 7. Cho các mệnh đề:

P: "Tam giác ABC là tam giác vuông tại A";

Q: "Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB² + AC² = BC²"

a. Hãy phát biểu các mệnh đề P $\Rightarrow$ Q, Q $\Rightarrow$ P, P $\Leftrightarrow$ Q, $\overline{P}$ $\Rightarrow$ $\overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b. Dùng các khái niệm "điều kiện cần" và "điều kiện đủ" để diễn rả mệnh đề P $\Rightarrow$ Q.

c. Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến $AM=\frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Bài tập 8.

a. Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: $\left\{\begin{matrix}x+y\leq 6\\ 2x-y\leq 2\\ x\geq 0\\ y\geq 0\end{matrix}\right.$

b. Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Bài tập 9. Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c với đồ thị là parabol (P) có đỉnh $I\left ( \frac{5}{2};\frac{1}{4} \right )$ và đi qua điểm A(1; 2).

a. Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng y = a(x - h)² + k, trong đó I(h, k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b. Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.

c. Giải bất phương trình $f(x)$ $\geq $ 0.

Bài tập 10. Giải các phương trình chứa căn thức sau:

a. $\sqrt{2x^{2}-6x+3}=\sqrt{x^{2}-3x+1}$

b. $\sqrt{x^{2}+18x-9}=2x-3$

Bài tập 11. Từ các chữ số 0; 1; 2;.....; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?

Bài tập 12. Viết khai triển nhị thức Newton của (2x -1)ⁿ, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $A_{n}^{2}+24C_{n}^{1}=140$.

Bài tập 13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có:

$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$

Bài tập 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a. Biểu thị các vecto $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{AN}$ theo các vecto $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}$.

b. Tính $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Bài tập 15. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2).

a. Viết phương trình đường thẳng BC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

c. Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Bài tập 16. Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai điểm A(1; 1) và B(-1; 21) với các vecto vận tốc tương ứng là $\overrightarrow{v_{A}}=(1; 2)$, $\overrightarrow{v_{B}}=(1; -4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau không?

Bài tập 17. Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Bài tập 18. Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi $.

a. Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

b. Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết: 3,1415 < $\pi $ < 3,1416.

Bài tập 19. Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:

a. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.

b. Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

Bài tập 20. Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chắn.