Bài tập 7.35. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.a. Tìm các...

a.
Cách làm 1:
- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục hoành, ta đặt y = 0 và giải phương trình elip.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$
$x^2 = a^2$
Vậy tọa độ A1 là (-a, 0).
Tương tự, ta có tọa độ A2 là (a, 0).
Do đó, A1A2 = 2a.
- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục tung, ta đặt x = 0 và giải phương trình elip.
$\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$y^2 = b^2$
Vậy tọa độ B1 là (0, -b).
Tọa độ B2 là (0, b).
B1B2 = 2b.

Cách làm 2:
- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục hoành, ta có A1 (-a, 0) và A2 (a, 0).
=> A1A2 = 2a.
- Để tìm các giao điểm của elip (E) với trục tung, ta có B1 (0, -b) và B2 (0, b).
=> B1B2 = 2b.

b.
Chứng minh: $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.
- Chứng minh $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$:
$b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$
Chia cho b^2, ta có:
$1 \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}$
$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}
\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}$
Vì a > b > 0, điều này luôn đúng.
Vậy $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$.
- Chứng minh $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$:
Tương tự, chứng minh tương tự sẽ cho ra $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$.
- Vậy từ những chứng minh trên ta được $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.