Bài tập 4.27. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; -1).a) Chứng minh...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:
a) Để chứng minh rằng ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không bằng cách tính đại số học vector $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$. Nếu $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, tức là không thẳng hàng, ta sẽ chứng minh được A, B, C tạo thành một tam giác.

Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó bằng cách lấy trung điểm của các đỉnh. Với các điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; -1), tọa độ trọng tâm G(x; y) có tổng tọa độ là trung bình của các tọa độ của A, B, C.

b) Để tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác và trực tâm H của tam giác ABC, ta sử dụng một số định lý hình học để giải. Thứ nhất, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ là nơi mà các đường tròn ngoại tiếp từ ba đỉnh của tam giác cùng tiếp xúc. Ta sẽ tính tọa độ của tâm đường tròn đó sau đó xác định tọa độ của trực tâm từ tâm đường tròn và tâm của tam giác ban đầu.

Câu trả lời chi tiết và đầy đủ hơn:
a) A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vì vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, suy ra ba điểm không thẳng hàng. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (2; 5/3).
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(15/4; 5/4) và tọa độ trực tâm H là (-3/2; 5/2).