Bài tập 3 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $...

a) Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$ và biết rằng $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- Tính $cos2\alpha = 1 - 2(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - 2*\frac{3}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
- Do $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ nên $0<2\alpha<\frac{\pi}{2}$. Suy ra $sin2\alpha>0$.
- Sử dụng công thức $sin2\alpha = \sqrt{1 - cos^2 2\alpha}$, ta tính được $sin2\alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} =\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

b) Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức $cos\alpha = 1 - 2sin^2\frac{\alpha}{2}$ và biết rằng $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{4}$.
- Tính $cos\alpha = 1 - 2(\frac{3}{4})^2 = 1 - 2*\frac{9}{16} = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.
- Sử dụng công thức $cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$, ta có $cos2\alpha = 2(\frac{1}{8})^2 - 1 = \frac{2}{64} - 1 = \frac{-31}{32}$.
- Do $\pi<\alpha<2\pi$ nên $sin\alpha<0$, mà $cos\alpha<0$. Suy ra $sin2\alpha>0$.
- Sử dụng công thức $sin2\alpha = -\sqrt{1 - cos2\alpha}$, ta tính được $sin2\alpha = -\sqrt{1 - (\frac{-31}{32})^2} = -\sqrt{1 - \frac{961}{1024}} = -\sqrt{\frac{63}{1024}} = \frac{\sqrt{63}}{32}$.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $sin2\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
b) $sin2\alpha = \frac{\sqrt{63}}{32}$