2.28.Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^(n) với p>0, q>0, p +...

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng định lí về Ung dung-Cauchy-Schwarz.

Phương pháp 1:
Ta có: (p + q)^n = p^n + q^n + C(n,1)p^(n-1)q + C(n,2)p^(n-2)q^2 + ... + q^n (1)
Với điều kiện p > 0, q > 0 và p + q = 1, ta có p,q thuộc khoảng (0,1).
Áp dụng Ung dụng-Cauchy-Schwartz cho 2 dãy 1 và 1:
(p^n + q^n)(1 + 1) ≥ (p + q)^(n+1)
⇨ 2(p^n + q^n) ≥ 1
⇨ p^n + q^n ≥ 1/2
Vậy, số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^n là 1/2, khi và chỉ khi p = q = 1/2.

Phương pháp 2:
Ta có thể dùng phương pháp khác để giải bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM-GM.
Với p, q > 0 và p + q = 1, áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
(p^n + q^n)/2 ≥ (p*q)^(n/2) = 1/2^n
⇨ p^n + q^n ≥ 2^(n-1)
Vậy, số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^n là 2^(n-1), khi và chỉ khi p = q = 1/2.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^n với p > 0, q > 0, p + q = 1 là 2^(n-1).