2.20. Đặta, Tính S1, S2, S3?b, Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp

Để giải câu hỏi trên, ta có các bước như sau:

a) Tính S1, S2, S3:
- S1 = 1/(1*3) = 1/3
- S2 = 1/(1*3) + 1/(3*5) = 1/3 + 1/5 = 2/5
- S3 = 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) = 1/3 + 1/5 + 1/7 = 3/7

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn:
Dựa vào quy luật tổng tổng quát, ta dự đoán được rằng Sn = n/(2n+1)

Chứng minh bằng quy nạp:
- Với n = 1, ta có S1 = 1/3 = 1/(2*1+1), điều ta cần chứng minh đúng.
- Giả sử khẳng định đúng với n = k: Sk = k/(2k+1)
- Ta cần chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k+1
- Ta có: Sk+1 = (k+1)/(2(k+1)+1) = (k+1)/(2k+3) = (k+1)/(2k+1+2) = (k+1)/(2(k+1)+1), suy ra khẳng định cũng đúng với n = k+1.

Vậy, ta đã chứng minh được công thức Sn = n/(2n+1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.