2.22.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiênn ≥ 2, ta có5^(n)≥ 3^(n)+...

Phương pháp giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với n = 2, ta có 5^(2) = 25 = 3^(2) + 4^(2). Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.

Bước 2: Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^(k) ≥ 3^(k) + 4^(k).
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^(k + 1) ≥ 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
5^(k + 1) = 5.5^(k) ≥ 5(3^(k) + 4^(k)) = 5.3^(k) + 5.4^(k) ≥ 3.3^(k) + 4.4^(k) = 3^(k + 1) + 4^(k + 1).

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.

Vậy mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5^(n) ≥ 3^(n) + 4^(n).