3. TÂM SAIHoạt động khám phá 3: Cho hypebol(H): (H):$\frac{x^2}{a^2}$ -...

Để chứng minh $\frac{c}{a} > 1$, ta có thể giải bằng cách như sau:

Từ phương trình hiperbol: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, ta biết được rằng điểm tâm của hiperbol là điểm (0,0).

Để tìm khoảng lớn nhất của đoạn vuông góc tập trên trục x, ta tìm điểm trên đường hyperbol này, giao với trục x. Tức là giải phương trình: $\frac{x^2}{a^2} = 1$, ta được x = a.

Tương tự, để tìm khoảng lớn nhất của đoạn vuông góc tập trên trục y, ta giải phương trình $\frac{y^2}{b^2} = 1$, ta được y = b.

Để tìm chiều dài tâm sai (c), ta sử dụng điểm đã tìm được trước đó (x=a, y=b) và điểm tâm là (0,0), áp dụng công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong hệ tọa độ Descartes, ta có:
$c = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Do đó, ta có: $\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\frac{c}{a} > 1$.