4.Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là...

a) Phương pháp giải:
Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc cônica có tiêu điểm F(1; 1) và đường chuẩn d: x + y – 1 = 0 sao cho e = $\frac{1}{2}$.
Ta có:
$\frac{\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}}{\frac{\left | x+y-1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2}}}$ = $\frac{1}{2}$
<=> $\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}$ = $\frac{1}{2}$. $\frac{\left | x+y-1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$
<=> $(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}$ = $\frac{\left | x+y-1 \right |}{8}^2$
<=> $(1- 2x+ x^2) + (1-2y+ y^2)$ = $\frac{x^2 + y^2 +1 + 2xy - 2x - 2y }{8}$
<=> 8(1- 2x+ $x^2$ + 1-2y+ $y^2$) = $x^2$ + $y^2$ +1 + 2xy - 2x - 2y
<=> 7$x^2$ + 7$y^2$ - 2xy -14x - 14y + 15 = 0

Vậy phương trình của conic đã cho là: 7$x^2$ + 7$y^2$ - 2xy -14x - 14y + 15 = 0

b) Phương pháp giải:
Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc cônica có tiêu điểm F(1; 1) và đường chuẩn d: x + y – 1 = 0 sao cho e = 1.
Ta có:
$\frac{\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}}{\frac{\left | x+y-1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2}}}$ = $1$
<=> $\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}$ = $\frac{\left | x+y-1 \right |}{2}^2$
<=> $(1- 2x+ x^2) + (1-2y+ y^2)$ = $\frac{x^2 + y^2 +1 + 2xy - 2x - 2y }{2}$
<=> $x^2$ +$y^2$ - 2xy - 2x-2y +1=0

Vậy phương trình của conic đã cho là: $x^2$ +$y^2$ - 2xy - 2x-2y + 1 = 0

c) Phương pháp giải:
Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc cônica có tiêu điểm F(1; 1) và đường chuẩn d: x + y – 1 = 0 sao cho e = 2.
Ta có:
$\frac{\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}}{\frac{\left | x+y-1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2}}}$ = 2
=> $\sqrt{(1-x)^{2}+ (1-y)^{2}}$ = 2×$\frac{\left | x+y-1 \right |}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$
=> $x^2$ +$y^2$ +4xy -2x -2y = 0

Vậy phương trình của conic đã cho là: $x^2$ +$y^2$ +4xy -2x -2y = 0