Bài tập 5 trang 50 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Cho dãy số $(u_{n})$ với...

Để chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm của dãy số. Ta sẽ tính đạo hàm của \( u_n \) theo \( n \):

Đặt \( f(n) = 2 - \frac{3}{n+1} \)

Ta có:

\( f'(n) = \frac{3}{(n+1)^2} > 0, \forall n \in \mathbb{N}^* \)

Vậy dãy số \( (u_n) \) là dãy số tăng.

Để chứng minh rằng dãy số \( (u_n) \) bị chặn, ta chứng minh rằng \( u_n > -1 \) và \( u_n < 2 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \):

\( u_n = 2 - \frac{3}{n+1} > -1, \forall n \in \mathbb{N}^* \)

\( u_n = 2 - \frac{3}{n+1} < 2, \forall n \in \mathbb{N}^* \)

Vậy dãy số \( (u_n) \) bị chặn.

Vậy kết luận là dãy số \( (u_n) \) là dãy số tăng và bị chặn.