3. Đạo hàm của hàm số lượng giácKhám phá 3 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Cho biết...

Phương pháp giải:

Ta cần tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ bằng định nghĩa. Đầu tiên ta sử dụng công thức đạo hàm xấp xỉ tại điểm $x_{0}$ như sau:

\[y'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}}\frac{\sin x - \sin x_{0}}{x - x_{0}}\]

Tiếp theo, gọi $x = x_{0} + \Delta x$, ta có:

\[y'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin (x_{0} + \Delta x) -\sin x_{0}}{\Delta x}\]

\[= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin x_{0}\cos \Delta x + \cos x_{0}\sin \Delta x - \sin x_{0}}{\Delta x}\]

\[= \lim_{\Delta x \to 0}[\sin x_{0}\frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} + \cos x_{0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}]\]

\[= \sin x_{0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} + \cos x_{0}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\]

Tiếp tục tính toán như đã mô tả trong câu trả lời ban đầu, ta sẽ có đáp án cuối cùng là $y'(x_{0}) = \cos x_{0}$.

Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại một điểm bất kỳ $x_{0}$ chính là $\cos x_{0}$.