Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 2 Các quy tắc tính đạo hàm

Câu hỏi mở đầu

Giả sử hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại $x_{0}$ la $f'(x_{0})$ và $g'(x_{0})$. Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích của thương của f(x) và g(x) tại $x_{0}$

1. Đạo hàm của hàm số $y=x^{n}, n\in \mathbb{N}^{*}$

Khám phá 1 trang 42 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm $x = x_{0}$

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số $y=x^{2}, y = x^{3}$ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^{n}$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$

Thực hành 1 trang 43 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của hàm số $y=x^{10}$ tại x = -1 và $x = \sqrt[3]{2}$

2. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Khám phá 2 trang 43 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x=x_{0}$ với $x_{0}>0$

Thực hành 2 trang 43 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm só $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4

Thực hành 3 trang 43 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) $y=\sqrt[4]{x}$ tại x = 1

b) $y=\frac{1}{x}$ tại $x = -\frac{1}{4}$

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Khám phá 3 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho biết $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx

Thực hành 4 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại $x=\frac{3\pi}{4}$

Khám phá 4 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho biết $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ và $\lim_{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=e^{x}$

b) $y=lnx$

Thực hành 5 trang 44 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tìm đạo hàm của các hàm số

a) $y=9^{x}$ tại x = 1

b) $y=lnx$ tại $x=\frac{1}{3}$

5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số

Khám phá 5 trang 45 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$. Xét hàm số $h(x) = f(x) + g(x)$

Ta có: $\frac{h(x)-h(x_{0})}{x-x_{0}} = \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}+\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}$

Nên $h'(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{h(x)-h(x_{0}}{x-x_{0}}=  \lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} +  \lim_{x \to x_{0}}\frac{g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}=...+...$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm $h'(x_{0})$

Thực hành 6 trang 46 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xlog_{2}x$

b) $y = x^{3}e^{x}$

6. Đạo hàm của hàm hợp

Khám phá 6 trang 46 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hàm số u = sinx và hàm số $y=u^{2}$

a) Tính y theo x

b) Tính $y'_{x}$ (đạo hàm của y theo biến x), $y'_{u}$ (đạo hàm của y theo biến u) và $u'_{x}$ (đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh $y'_{x}$ với $y'_{u}.u'_{x}$

Thực hành 7 trang 47 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (2x^{3}+3)^{2}$

b) $y=cos3x$

c) $y = log_{2}(x^{2} +2)$

7. Đạo hàm cấp 2

Khám phá 7 trang 47 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = 2t^{3} +4t+1$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t

b) Đạo hàm v'(t) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu a(t). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2

Thực hành 8 trang 48 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=x^{2}-x$

b) $y=cosx$

Vận dụng trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là $s(t) = 4,9t^{2}$, trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3

Bài tập

Bài tập 1 trang 48 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y =2x^{3} -\frac{x^{2}}{2} +4x -\frac{1}{3}$

b) $y=\frac{-2x+3}{x-4}$

c) $y=\frac{x^{2}-2x+3}{x-1}$

d) $y=\sqrt{5x}$

Bài tập 2 trang 50 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin 3x

b) $y=cos^{3}2x$

c) $y=tan^{2}x$

d) $y=cot(4-x^{2})$

Bài tập 3 trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (x^{2} -x).2^{x}$

b) $y=x^{2}.log_{3}x$

c) $y=e^{3x+1}$

Bài tập 4 trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=2x^{4} -5x^{2} +3$

b) $y=xe^{x}$

Bài tập 5 trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số $w(t) = 0,000758t^{3} - 0,0596t^{2} + 1,82t + 8,15$, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound. Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại tời điểm 10 tháng tuổi

Bài tập 6 trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghin đô-la, để sản xuất x mặt hàng là $C(x) = \sqrt{5x^{2}+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số $x(t) = 20t+40$. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Bài tập 7 trang 49 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức $s(t) = 0,81t^{2}$, trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200m phía trên Mặt trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính

a) Quãng đường vật đã rơi

b) Gia tốc của vật