Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 3 Hai mặt phẳng vuông góc

Câu hỏi mở đầu

Trong thực tế, người ta thường nói mặt ngang và mặt đứng của các bậc thang vuông góc với nhau. Vậy thế nào là hai mặt phẳng vuông góc?

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Khám phá 1 trang 65 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Có thể xác định góc giữa hai cánh cửa nắp hầm (Hình 1) bằng cách sử dụng góc giữa hai cây chống vuông góc với mỗi cánh hay không?

b) Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại đo được góc giữa mặt phẳng nghiêng (Q) là mặt đất (P).

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Khám phá 2 trang 66 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng. Do góc $\widehat{xOy}$

Khám phá 3 trang 67 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của d và (MHK) (Hình 8)

a) Giả sử $(P) \perp (Q)$, hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tìm trong (P) đường thẳng vuông góc với (Q)$

b) Giả sử (P) chứa đường thẳng a với $a \perp (Q)$, hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tính góc giữa (P) và (Q)

Thực hành 1 trang 67 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng:

a) $(SAC) \perp (ABCD)$

b) $(SAC) \perp (SDB)$

Vận dụng 1 trang 67 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10

3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

Khám phá 4 trang 67 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c. Trong (Q) vẽ đường thẳng b vuông góc với c. Hỏi

a) (P) có vuông góc với (Q) không?

b) Đường thẳng b vuông góc với (P) không? 

Khám phá 5 trang 68 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Lấy điểm M trong (R), vẽ hai đường thẳng MH và MK lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Hỏi:

a) Hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R) không?

b) Đường thẳng a có vuông góc với (R) không?

Thực hành 2 trang 69 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tứ diện ABCD có $AB \perp (BCD)$. Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:

a $(ACD) \perp (ABE)$ và $(ADC) \perp (DFK)$

b) $OH \perp (ADC)$

Vận dụng 2 trang 69 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn

4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Khám phá 6 trang 69 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A'B'C'D'E' có cạnh bên AA' vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này?

b) Cho hình lăng trụ có đáy là đa giác đều và có cạnh bên vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18b). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này?

c) Một hình lăng trụ nếu có đáy là hình bình hành và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18c) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

d) Một hình hộp nếu có đáy là hinh chữ nhật và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18d) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

Thực hành 3 trang 71 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A'C và A'D theo a và h

Vận dụng 3 trang 71 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 30 cm (Hình 20). Tính tổng diện tích các mặt bên của lồng đèn đó

5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

Khám phá 7 trang 71 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng SO có vuông góc với đáy không?

Thực hành 4 trang 72 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a; SA = 2a. Tính SO theo a

Vận dụng 4 trang 72 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136 m và cạnh đáy dài khoảng 152 m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp

Khám phá 8 trang 72 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp đều $S.A_{1}A_{2}A_{3}....A_{6}$. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại $A_{1}'; A_{2}'; A_{3}';....;A_{6}'$.

a) Đa giác $A_{1}'A_{2}'A_{3}'...A_{6}'$ có phải lục giác đều không? Giải thích

b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai lục giác $A_{1}A_{2}A_{3}....A_{6}$ và $A_{1}'A_{2}'A_{3}'...A_{6}'$. Đường thẳng OO' có vuông góc với mặt đáy không?

Thực hành 5 trang 73 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy lớn a, cạnh đáy nhỏ $\frac{a}{2}$ và cạnh bên 2a. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.

Vận dụng 5 trang 73 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn

Bài tập

Bài tập 1 trang 73 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAC)$

b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng $(ABI) \perp (SBC)$

Bài tập 2 trang 73 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:

a) $(SBC) \perp (SAD)$

b) $(SAB) \perp (SAC)$

Bài tập 3 trang 73 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA' = 2a, AD = 2a, AB = BC = a

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC'

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Bài tập 4 trang 74 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD =a, AC' = 2a

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA'

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp

Bài tập 5 trang 74 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng a. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Bài tập 6 trang 74 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 21,6 m và cạnh đáy dài 34 m. Tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp