3.18.Cho hai elipa) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.b) Chứng minh rằng...

Phương pháp giải:

a) Ta có công thức tính tâm sai của một elip: tâm sai = c/a, trong đó c là khoảng cách từ tâm đến trọng tâm và a là bán trục lớn của elip.

Với (E1): a1 = 5, b1 = 4 => c1 = 3 => Tâm sai của E1 = c1/a1 = 3/5

Với (E2): a2 = 10, b2 = 8 => c2 = 6 => Tâm sai của E2 = c2/a2 = 6/10 = 3/5

Vậy ta có e1 = e2.

b) Giả sử M có toạ độ là (x, y). Khi đó N có toạ độ là (x/2, y/2).

Với M thuộc (E2), ta có:
(x/10)^2 + (y/8)^2 = 1

Ta cần chứng minh N thuộc (E1), tức là:
[(x/2)^2]/25 + [(y/2)^2]/16 = 1

Như vậy, ta cần chứng minh rằng phương trình của N trùng với phương trình của (E1). Điều này dễ thấy nếu thay x/2 và y/2 vào phương trình của (E1).

Vậy ta đã chứng minh được rằng với mỗi điểm M thuộc elip (E2), trung điểm N của đoạn thẳng OM cũng thuộc elip (E1).

Câu trả lời:
a) e1 = e2
b) Nếu M thuộc elip (E2) có phương trình (x/10)^2 + (y/8)^2 = 1, thì trung điểm N của đoạn thẳng OM cũng thuộc elip (E1) có phương trình [(x/2)^2]/25 + [(y/2)^2]/16 = 1.