Bài tập 7 trang 13 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Biết rằng $4^{\alpha} = \frac{1}{5}$. Tính giá...

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng giá trị đã biết $4^{\alpha} = \frac{1}{5}$ để tính giá trị của các biểu thức.

a) $16^{\alpha} + 16^{-\alpha}$
Ta biết rằng $16 = 4^2$, nên $16^{\alpha} = (4^2)^{\alpha} = 4^{2\alpha}$.
Và $16^{-\alpha} = \frac{1}{16^{\alpha}} = \frac{1}{4^{2\alpha}} = \frac{1}{(4^{\alpha})^2}= \frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$
Vậy $16^{\alpha} + 16^{-\alpha} = 4^{2\alpha} + \frac{1}{4^{2\alpha}} = \frac{1}{25} + 25 = \frac{1 + 625}{25} = \frac{626}{25}$

b) $(2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^{2}$
Ta biết rằng $2^{\alpha} = \sqrt{2^{\alpha}} \cdot \sqrt{2^{\alpha}} = \sqrt{2^{\alpha} \cdot 2^{\alpha}} = \sqrt{2^{2\alpha}} = 2^{\alpha}$.
Tương tự: $2^{-\alpha} = \frac{1}{2^{\alpha}}$.
Vậy $(2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^{2} = (2^{\alpha})^2 + 2 \cdot 2^{\alpha} \cdot 2^{-\alpha} + (2^{-\alpha})^2 = (2^{\alpha})^2 + 2 + (2^{-\alpha})^2 = (2^{\alpha})^2 + 2 + \frac{1}{(2^{\alpha})^2} = 4^{\alpha} + 2 + \frac{1}{4^{\alpha}} = \frac{1}{5} + 2 + \frac{1}{\frac{1}{5}} = \frac{1 + 10 + 5}{5} = \frac{16}{5}$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $16^{\alpha} + 16^{-\alpha} = \frac{626}{25}$
b) $(2^{\alpha} + 2^{-\alpha})^{2} = \frac{16}{5}$