Chứng tỏ rằng biểu thức dưới đây luôn nhận giá trị dương với mọi x:

\(B = 4{x^2} - 12x + 15.\)
Chào mọi người, mình đang cảm thấy khá bối rối. Bạn nào đó có kinh nghiệm có thể giúp mình giải quyết vấn đề này không?

Để chứng tỏ rằng biểu thức \(B = 4{x^2} - 12x + 15\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\), ta có thể sử dụng một số phương pháp như sau:

Phương pháp 1: Sử dụng giá trị trung bình
- Ta biết rằng \(4{x^2}\) luôn không âm với mọi giá trị của \(x\).
- Ta cần chứng minh rằng \(4{x^2} - 12x + 15 > 0\) với mọi \(x\).
- Áp dụng phương pháp giá trị trung bình, ta có:
\[\frac{{4{x^2} - 12x + 15 + 4}}{{4}} = x^2 - 3x + 4\]
- Ta cần chứng minh rằng \(x^2 - 3x + 4 > 0\) với mọi \(x\).
- Để tìm nghiệm của \(x^2 - 3x + 4 = 0\), ta sử dụng công thức \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Ta có \(\Delta = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7\).
- Vì \(\Delta < 0\), nên phương trình \(x^2 - 3x + 4\) sẽ không có nghiệm.
- Vậy, ta có thể kết luận rằng \(x^2 - 3x + 4 > 0\) với mọi \(x\).
- Như vậy, biểu thức \(4{x^2} - 12x + 15\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\).

Phương pháp 2: Sử dụng định lí hạng 2 của viết cận
- Dựa vào định lí hạng 2 của viết cận, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(4{x^2} - 12x + 15\) bằng cách lấy giá trị của \(x\) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = 4{x^2} - 12x + 15\).
- Ta có thể tính đạo hàm của hàm số \(y = 4{x^2} - 12x + 15\) và giải phương trình đạo hàm bằng \(0\) để tìm điểm cực tiểu của đồ thị.
- Tuy nhiên, từ phương trình \(4{x^2} - 12x + 15 = 0\) không có nghiệm, ta có thể kết luận rằng đồ thị hàm số không có điểm cực tiểu.
- Với mọi giá trị \(x\), đồ thị hàm số \(y = 4{x^2} - 12x + 15\) sẽ nằm trên trục hoành và trên đường thẳng \(y = 0\).
- Vì \(y\) luôn lớn hơn \(0\) trên trục hoành và trên đường thẳng \(y = 0\), nên ta có thể kết luận rằng biểu thức \(4{x^2} - 12x + 15\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\).

Vậy, biểu thức \(B = 4{x^2} - 12x + 15\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\).