Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 2021 sở GD ĐT Hà Tĩnh

Nội dung Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 2021 sở GD ĐT Hà Tĩnh Bản PDF

Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Ngày 22 - 23 tháng 09 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT cho năm học 2020 - 2021. Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 - 2021 của sở GD&ĐT Hà Tĩnh bao gồm 02 bài thi với tổng cộng 07 bài toán, thời gian làm bài cho mỗi bài là 180 phút.

Chi tiết các câu hỏi trong đề thi:

1. Cho phương trình \(x^n = x + 1\). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và \(n \geq 2\), phương trình có nghiệm dương duy nhất, được ký hiệu là \(x_n\).

   • a. Tính giới hạn của dãy số \(u_n\) với \(u_n = n(x_n - 1)\).
   • b. Tìm số thực k sao cho dãy số \(v_n = n^k(x_{n+1} - x_n)\) có giới hạn hữu hạn khác 0.

2. Cho tam giác nhọn ABC có \(AB < AC < BC\) và nội tiếp đường tròn (O;R). Đường thẳng d dịch chuyển nhưng luôn vuông góc với đoạn thẳng OA và cắt cạnh AB, AC tại M, N. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BN và CM, P là giao điểm của đường thẳng AK và BC, I là trung điểm của BC.

   • a. Chứng minh rằng tứ giác MNIP nội tiếp vào một đường tròn.
   • b. Gọi H là trực tâm của tam giác AMN. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi.

3. Cho bảng vuông n x n ô vuông (n > 2) với mỗi ô được tô bằng hai màu đen hoặc trắng (mỗi ô chỉ tô bởi một màu). Mỗi bước, có thể thay đổi màu của toàn bộ các ô trong một hàng hoặc một cột (ô trắng thành đen và ô đen thành trắng).

   • a. Giả sử trong bảng chỉ có một ô được tô đen. Hỏi sau một số bước đổi màu hàng hoặc cột thì có thể bảng toàn ô trắng được không?
   • b. Có bao nhiêu cấu hình ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước đổi màu hàng hoặc cột, bảng sẽ chỉ gồm các ô trắng?

Đây là những câu hỏi thú vị và đầy ý nghĩa trong đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 - 2021 của sở GD&ĐT Hà Tĩnh. Chúc các thí sinh có những giờ phút trải nghiệm và học hỏi bổ ích từ những bài toán này!