Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  d 1 :   x = 1 y = 1 - 2 t z = 1 + t  và song song với đường thẳng  d 2 :   x - 1 1 = y 2 = z - 1 2 . A.   – 6 x   -   y   +   2 z   +   5   =   0 B. 6 x   -   y   +   2 z   -   7   =   0 C. 6 x   +   y   -   2 z   -   5   =   0 D. – 6 x   +   y   +   2 z   +   3   =   0
Xin chú ý! Mình đang trong tình thế cần được giải cứu! Có ai có thể đưa cho mình một lời khuyên hữu ích không?

Để tìm được phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vì (P) song song với d2, nên vector chỉ phương của d2 cùng là vector chỉ phương của (P). Ta có vector chỉ phương của d2 là v = (1, 2, 1).
Do đó, vector chỉ phương của (P) có dạng v = (a, b, c), với (a, b, c) ≠ (0, 0, 0).

Bước 2: Xác định một điểm M thẳng vuông giao giữa d1 và d2.
Ta xét hai phương trình đường thẳng d1 và d2:
d1: x = 1, y = 1 - 2t, z = 1 + t
d2: x - 1/2 = y/2 = (z - 1)/2
Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ điểm M là M(1, 1, 1) thỏa mãn.
Do đó, điểm M có tọa độ là (1, 1, 1).

Bước 3: Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0.
Thay vào đó các thông số của vector pháp tuyến v và tọa độ của điểm M, ta được: a(1) + b(1) + c(1) + d = 0.
Suy ra, a + b + c + d = 0.

Bước 4: Tìm phương trình mặt phẳng (P).
Với a + b + c + d = 0, ta có một phương trình mặt phẳng là: x + y + z - 3 = 0. (kết hợp với tọa độ điểm M)
Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng: x + y + z = 3.

Tổng kết: Phương trình mặt phẳng (P) là x + y + z = 3.
Câu trả lời cho câu hỏi trên là phương án A: – 6x - y + 2z + 5 = 0.

Câu trả lời 1:

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1: x = 1, y = 1 - 2t, z = 1 + t và song song với đường thẳng d2: x - 1/1 = y/2 = z - 1/2.

Ta có vector chỉ phương của đường thẳng d1: v1 = (1, -2, 1) và vector chỉ phương của đường thẳng d2: v2 = (1/1, 2/2, 1/2) = (1, 1, 1/2).

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 có thể viết dưới dạng:

a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0 (1)

Trong đó, (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do (P) song song với d2, nên vector pháp tuyến của (P) cũng phải song song với v2.

Vậy, vector pháp tuyến của (P) cũng phải thỏa mãn điều kiện:

[a, b, c] = t[1, 1, 1/2], với t ≠ 0. (2)

Kết hợp (1) và (2), ta có:

a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0
=> t[1, 1, 1/2](x - 1) + t[1, 1, 1/2](y - 1) + t[1, 1, 1/2](z - 1) = 0
=> [tx - t, ty - t, tz - 1/2t] + [t, t, 1/2t] = [0, 0, 0]
=> (tx - t + t, ty - t + t, tz - 1/2t + 1/2t) = (0, 0, 0)
=> (tx, ty, tz) = (0, 0, 0)
=> tx = ty = tz = 0. (3)

Thay (3) vào (1), ta có:

a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0
=> a(1 - 1) + b(1 - 1) + c(1 - 1) = 0
=> 0 = 0.

Vậy, phương trình (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 là tất cả các (a, b, c) thỏa mãn điều kiện trong công thức (2).

Câu trả lời 2:

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1: x = 1, y = 1 - 2t, z = 1 + t và song song với đường thẳng d2: x - 1/1 = y/2 = z - 1/2.

Ta có vector chỉ phương của đường thẳng d1: v1 = (1, -2, 1) và vector chỉ phương của đường thẳng d2: v2 = (1/1, 2/2, 1/2) = (1, 1, 1/2).

Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 có thể viết dưới dạng:

ax + by + cz + d = 0 (1)

Trong đó, (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do (P) song song với d2, nên vector pháp tuyến của (P) cũng phải song song với v2.

Vậy, vector pháp tuyến của (P) cũng phải thỏa mãn điều kiện:

[a, b, c] = t[1, 1, 1/2], với t ≠ 0. (2)

Kết hợp (1) và (2), ta có:

ax + by + cz + d = 0
=> t[1, 1, 1/2]x + t[1, 1, 1/2]y + t[1, 1, 1/2]z + t[1, 1, 1/2]0 = 0
=> [tx + t, ty + t, tz + 1/2t] = [0, 0, 0]
=> (tx + t, ty + t, tz + 1/2t) = (0, 0, 0)
=> (tx, ty, tz) = (-t, -t, -1/2t). (3)

Thay (3) vào (1), ta có:

ax + by + cz + d = 0
=> a(1) + b(1) + c(1/2) + d = 0
=> a + b + c/2 + d = 0.

Vậy, phương trình (P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 có thể viết dưới dạng ax + by + cz + d = 0 với a + b + c/2 + d = 0.