Cho p la so nguyen to lon hon 3.Biết p+2 cũng là số nguyên tố.Chứng minh rằng;p+1chia hết cho 6
Xin chào cả nhà, mình đang làm một dự án và vướng mắc một vấn đề nan giải. Bạn nào có thể đóng góp ý kiến để giúp mình vượt qua không?

Phương pháp giải:

Giả sử p + 2 là số nguyên tố, và p là số nguyên tố lớn hơn 3.

Ta biết rằng số nguyên tố lớn hơn 2 đều là 1 trong 2 dạng sau: 6k + 1 hoặc 6k - 1. Với p > 3, ta có thể kết luận rằng p phải thuộc dạng 6k + 1.

Vì vậy, ta có:
p = 6k + 1,
p + 2 = 6k + 3 = 3(2k + 1).

Do p+2 cũng là số nguyên tố, nên p+2 phải thuộc dạng 6k - 1. Tuy nhiên, ta đã biết p+2 = 3(2k + 1), nên bội của 3 phải nằm ở dạng 6k + 1, suy ra:
3(2k + 1) = 6g + 1.

Kết hợp 2 phương trình trên, ta được:
6g + 1 = 6k + 1,
hay g = k.

Vậy p+1 = 6k + 1 + 1 = 6k + 2 = 6g là số chia hết cho 6.

Vậy ta đã chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và p+2 cũng là số nguyên tố, thì p+1 chia hết cho 6.

Khi đó, ta có p+1 = 3k+1+1 = 3k+2. Ta thấy được rằng p+1 chia hết cho 2 và không chia hết cho 3, nên p+1 = 6m hoặc 6m+2 với m là số nguyên dương. Vì vậy, p+1 chia hết cho 6.

Do p không chia hết cho 2, nên p chỉ có thể là 3k hoặc 3k+1 với k là số nguyên dương. Vì p > 3 nên p = 3k+1 với k >= 1.

Vì p là số nguyên tố, nên p không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác ngoài 1 và chính nó. Vì vậy, p không chia hết cho 2 hay 3.

Ta biết p là số nguyên tố lớn hơn 3 và p+2 cũng là số nguyên tố. Khi đó, p+2 > 3, tức là p > 1 vì số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn 3 là số 2. Vậy p > 1.