cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Kẻ IE vuông góc với AB. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AIDE nội tiếp một đường tròn. b) Tia BD là tia phân giác của góc CDE. c) Trường hợp AB không song song với CD. Chứng minh 4 điểm O, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

Đỗ Huỳnh Việt

Để giải câu hỏi trên, ta sử dụng các kiến thức về hình học định lý sau:
1. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, hai tứ giác nội tiếp các tam giác đỉnh trùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại một cặp đường chéo là phân giác của nhau.
2. Tứ giác AIDE nội tiếp một đường tròn nếu và chỉ nếu tồn tại góc nội tiếp tại I.

Phương pháp giải:
a) Ta chứng minh tứ giác AIDE nội tiếp một đường tròn bằng cách chứng minh góc AIE = góc ADE.
Góc AIE = góc AIB (hàng cùng cạnh trong tứ giác ABIE) = 90 độ (do IE vuông góc với AB)
Góc ADE = góc ADB (tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp) = 90 độ (do AB là đường kính)
Vậy ta có góc AIE = góc ADE, từ đó suy ra tứ giác AIDE nội tiếp một đường tròn.

b) Ta chứng minh góc CDE = góc BDI bằng cách chứng minh các tam giác BDI và CDE đồng dạng.
Góc CDE = góc CAE (do AD//BC) = góc IAE
Góc BDI = góc ADB (tứ giác ADBE nội tiếp) = góc AEB
Vậy ta có góc CDE = góc BDI, từ đó suy ra tia BD là tia phân giác của góc CDE.

c) Để chứng minh 4 điểm O, E, D, C cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh góc BOC = góc BEC.
Ta có góc BOC = 90 độ (do OB là đường chéo của tứ giác nội tiếp, góc ở tâm bằng góc nội tiếp) và góc BEC = góc BAC = 90 độ (do AB là đường kính, góc ở tâm)
Vậy ta có góc BOC = góc BEC, từ đó suy ra 4 điểm O, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

Vậy là đã giải câu hỏi cho bạn.