Cho A= 7 mũ 0+ 7 mũ 1+ 7 mũ 2+ 7 mũ 3+...+ 7 mũ 2016+ 7 mũ 2017. Chứng tỏ A chia hết cho 8. Giúp mình với!!
Mọi người ơi, mình cảm thấy loay hoay quá, không biết phải làm sao. Ai có thể chỉ dẫn mình cách giải quyết không?

Ta có thể chứng minh bằng phương pháp đổi cơ số. Vì 7 chia 8 dư 7, nên 7^2 chia 8 cũng dư 1. Từ đó, suy ra tổng các lũy thừa của 7 từ 0 đến 2017 chia hết cho 8.

Sử dụng phương pháp đặt công thức tổng quát, ta có thể viết A = (7^2018 - 1) / 6. Vì 7^2018 - 1 chia hết cho 8 và 6 chia hết cho 8 nên A chia hết cho 8.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: 7^4 = 2401 = 300*8 + 1 khi chia cho 8 dư 1. Vì vậy, 7^n khi n lớn hơn 4 luôn chia cho 8 dư 1. Từ đó suy ra A chia hết cho 8.

Một cách khác để chứng minh là chia động tạo của lũy thừa của 7 cho 8 theo đúng từ 0 đến 7, sẽ thấy chu kỳ lặp lại. Dựa vào tính chất này, ta có thể chứng minh A chia hết cho 8.

Với mọi số nguyên dương k, 7^k khi chia cho 8 luôn dư 1. Vì vậy, ta cần chứng minh rằng tổng các lũy thừa của 7 từ 0 đến 2017 cũng dư 0 khi chia cho 8. Để chứng minh điều này, có thể sử dụng đệ quy hoặc phương pháp kiểm tra trường hợp.