Cho tam giác ABC nhọn có (AB< AC), đường cao BD và CE cắt nhau tại H, I là trung điểm của BC. Gọi K là điểm đối xứng với H qua I , M là điểm đối xứng với H qua đường thẳng BC. 1) các tứ giác BHCK,BCKM là hình gì? 2) gọi O là trung điểm của AK. Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. 3) chứng minh rằng AK vuông góc với DE
Mình đang vướng một chút rắc rối và cần người giúp đỡ. Nhờ mọi người hãy lan tỏa bác ái của mình và giúp đỡ mình trả lời câu hỏi trên mới ạ!

Phương pháp giải:
1) Ta có thể thấy đường cao BD chia tam giác ABC thành hai tam giác BHD và CDH.
- Tam giác BHD có hai góc vuông là góc B và góc HBD.
- Tam giác CDH có hai góc vuông là góc C và góc HDC.
- Do đó, ta có tứ giác BHCK là tứ giác hình chữ nhật, và tứ giác BCKM cũng là tứ giác hình chữ nhật.

2) Gọi O là trung điểm của AK. Khi đó, HI là đường trung trực của tam giác ABC.
- Vì I là trung điểm của BC và H là điểm chùng hai đường cao BD và CE nên I là trung điểm của DE.
- Ta có điểm đối xứng của H qua I là K, và điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC là M.
- Khi đó, ta có HK = IKh = KM = IKM = HOM = HO = OA = OK.
- Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

3) Ta biết I là trọng tâm của tam giác ABC và I cũng là trung điểm của BC nên HIK là đường thẳng E nên giao điểm của EK và HI là giao điểm D.
- Chứng minh rằng A, D, K thẳng hàng:
Từ K, M, D thẳng hàng (đường thẳng DM đi qua K, đi qua M mà ở trên) và góc IKM = góc MKD = 90 độ nên K, I, M, D nằm trên đường trụ của tam giác DEK.
Vì DM = MH = MK và góc MDK là góc nhọn nên tam giác MKH vuông tại K. Ta có KI = IM nên KI cắt đường trục của tam giác DEK tại I (hợp dạng đều nên Mediator của EK là đường thẳng qua I) nên tam giác EK'I là đối xứng với tam giác EKI qua I nên tam giác EKI vuông tại K nên K, I, A thẳng hàng. (tương tự như vậy chứng minh A, H, K thẳng hàng và nằm trên đường trục của tam giác DEK)
- Vậy ta chứng minh được AK vuông góc với DE.

3) Chứng minh AK vuông góc với DE. Ta có BH // DE vì cả hai đều vuông góc với AC. Vì vậy, góc BHD = góc DEA. Tương tự, CK // DE vì cả hai đều vuông góc với AB, nên góc CKE = góc DEA. Từ đó, ta có góc BHD = góc CKE. Nhưng tứ giác BHCK là tứ giác bình đẳng cạnh, nên góc BHC = góc BCK. Do đó, góc BHC + góc BCK = góc BHK + góc BCK = 180 độ. Từ đó, góc BHK = 90 độ. Vậy, AK vuông góc với DE.

2) Ta cần chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Đường trung trực của AB là đường thẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Tương tự, đường trung trực của AC là đường thẳng qua trung điểm của AC và vuông góc với AC. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC. Ta cần chứng minh O thuộc cả hai đường trung trực này. Thật vậy, ta có AO là đường trung trực của BC vì O là trung điểm của AK. Vì vậy, O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

1) Tứ giác BCKM là tứ giác đối xứng vì BK = CM và BC = CB (do M là điểm đối xứng của H qua BC).

1) Tứ giác BHCK là tứ giác bình đẳng cạnh vì BH = CK và BC = BK (do I là trung điểm của BC).