Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;2;5) . Mặt phẳng (P)  đi qua điểm M  và cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz  tại A , B , C  sao cho M  là trực tâm tam giác ABC . Thể tích của tứ diện OABC  là A.  10 6 B. 450 C. 10 D. 45
Mọi người ơi, mình cảm thấy loay hoay quá, không biết phải làm sao. Ai có thể chỉ dẫn mình cách giải quyết không?

Phương pháp giải:

Để giải bài toán này, ta sử dụng kiến thức về hình học không gian và đại số vectơ.

Gọi OAB là mặt phẳng qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C.
Ta có vectơ OA = 1. i, OB = 2. j, OC = 5. k.

Vì M là trực tâm tam giác ABC, ta có công thức trực tâm:
AM + BM + CM = 3.G (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

Vì M(1; 2; 5) là trực tâm và G(0; 0; 0) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
1 + 2 + 5 = 3.0
=> 8 = 0 (vô lý)

Vậy không có mặt phẳng nào đi qua điểm M và cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho M là trực tâm tam giác ABC.

Với kết quả này, ta không thể tính được thể tích của tứ diện OABC.

Vì vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là không thể tính được thể tích của tứ diện OABC.

a + 2/a = b + 2/b = c + 2/c = 3. Giải hệ phương trình này, ta có các giá trị a = 1, b = 2 và c = 3. Thay giá trị này vào công thức tính thể tích của tứ diện, ta có:
V = (1/6) * (a * b * c) = (1/6) * (1 * 2 * 3) = 1. Do đó, thể tích của tứ diện OABC là 1.

Ta sử dụng tính chất trực tâm tam giác để tìm giá trị của a, b, c. Vì M là trực tâm nên ta có tỉ số AM:MA = BM:MB = CM:MC = 2:1. Từ đó, ta có hệ phương trình sau:

Để tính được thể tích của tứ diện OABC, ta cần tìm 3 điểm A, B, C trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Gọi A(a, 0, 0), B(0, b, 0) và C(0, 0, c), với a, b, c là các số thực.