Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12m\) cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là \(h = 1,2m.\) Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm \({A_1},{B_1}\) cùng thẳng hàng với \({C_1}\) thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta do được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ },\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ \circ }.\) Tính chiều cao CD của tháp.

Đỗ Minh Huy

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng các kiến thức về hai tỉ số hình học và các định lí cơ bản trong hình học.

Phương pháp giải:
1. Vẽ hình với các đại lượng đã cho và các đường thẳng AB, CD, A1B1, C1D.
2. Áp dụng định lí của Tam giác tỉ đối có góc chung.
- Vì \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ }\) nên \({A_1}{D_1}\) song song với CA.
- Vì \(\widehat {B_1{D_1}{C_1}} = {35^ \circ }\) nên \({B_1}{D_1}\) song song với CB.
- Do đó, tứ giác \(AB{A_1}{B_1}\) là tứ giác bổ tứ giác.
3. Áp dụng định lý của tứ giác bổ tứ giác:
- Gọi E là giao điểm của {A1A} và {B1B}.
- Ta có tỉ số \(\dfrac{{CE}}{{AD}} = \dfrac{{{C1}B}}{{{A_1}B}}\).
- Vì EA1CB1 là tứ giác bổ tứ giác, nên tỉ số \(\dfrac{{{C_1}B}}{{CB}} = \dfrac{{A1{E_1}}}{{EA_1}}\).
- Từ đây suy ra \(\dfrac{{CE}}{{AD}} = \dfrac{{A1{E_1}}}{{EA_1}}\).
4. Áp dụng định lý cung:
- Vì \(\widehat {A_1EC} = {49^ \circ }\) nên \(\widehat {{E_1}DA} = {49^ \circ }\).
- Vì \(\widehat {B_1EC} = {35^ \circ }\) nên \(\widehat {{E_1}DB} = {35^ \circ }\).
- Ta có \(\widehat {{E_1}DA} + \widehat {{E_1}DB} = {49^ \circ } + {35^ \circ } = {84^ \circ }\).
- Do đó, tứ giác \(DE_1AB\) là tứ giác nội tiếp.
5. Áp dụng định lý của tứ giác nội tiếp:
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác \(DE_1AB\).
- Ta có \(\widehat {{E_1}OA} = \widehat {{E_1}DA} = {49^ \circ }\) và \(\widehat {{E_1}OB} = \widehat {{E_1}DB} = {35^ \circ }\).
- Từ đây suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {{E_1}OA} + \widehat {{E_1}OB} = {49^ \circ } + {35^ \circ } = {84^ \circ }\).
- Do đó, tứ giác AOB là tam giác cân tại O.
6. Áp dụng định lí tam giác cân:
- Gọi M là trung điểm của AB.
- Ta có \(\widehat {AOB} = {84^ \circ }\) nên \(\widehat {AOM} = \dfrac{1}{2}{\widehat {AOB}} = \dfrac{1}{2} \times {84^ \circ } = {42^ \circ }\).
- Do đó, \(\widehat {AOM} = \widehat {OMA}\) và \(\widehat {BOM} = \widehat {OMB}\).
- Từ đây suy ra AO song song với BM và BO song song với AM.
7. Áp dụng định lí song song:
- Vì AO song song với BM nên tỉ số \(\dfrac{{BM}}{{MO}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}\).
- Từ đây suy ra \(\dfrac{{BM}}{{\dfrac{1}{2}AB}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}\), hay \(\dfrac{{BM}}{{6m}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}\).
- Tương tự, vì BO song song với AM nên \(\dfrac{{AM}}{{\dfrac{1}{2}AB}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\), hay \(\dfrac{{AM}}{{6m}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\).
8. Kết hợp các tỉ số trên, ta có:
- \(\dfrac{{BM}}{{6m}} = \dfrac{{AC}}{{CD}}\) và \(\dfrac{{AM}}{{6m}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\).
- Nhân vế của cả hai tỉ số với nhau, ta được \(\dfrac{{BM}}{{6m}} \times \dfrac{{AM}}{{6m}} = \dfrac{{AC}}{{CD}} \times \dfrac{{BC}}{{CD}}\), hay\(\dfrac{{BM \times AM}}{{6^2}} = \dfrac{{AC \times BC}}{{CD^2}}\).
9. Áp dụng định lý của Tam giác tỉ đối có cạnh chung:
- Ta có tỉ số \(\dfrac{{BM}}{{AM}} = \dfrac{{h + 1.2m}}{{1.2m}}\).
- Từ đó suy ra \(BM = \dfrac{{AM}}{{h + 1.2m}}\).
- Từ đây thế vào công thức ở bước 8, ta được:
\(\dfrac{{AM}}{{h + 1.2m}} \times AM = \dfrac{{AC \times BC}}{{CD^2}}\), hay \(AM^2 = \dfrac{{AC \times BC}}{{CD^2}} \times (h + 1.2m)\).
10. Áp dụng định lý Pappus:
- Ta có tỉ số \(\dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{CB_1}}{{CA_1}}\).
- Từ đó suy ra \(AC = \dfrac{{BC}}{{CB_1}} \times CA_1\).
- Tương tự, ta có \(BC = \dfrac{{AC}}{{AC_1}} \times CB_1\).
- Thay vào công thức ở bước 9, ta được:
\(AM^2 = \dfrac{{\dfrac{{BC}}{{CB_1}} \times CA_1}}{{CD^2}} \times \left( h + 1.2m \right)\), hay \(AM^2 = \left( \dfrac{{AC}}{{CD}} \right)^2 \times \dfrac{{CB_1}}{{CA_1}} \times \left( h + 1.2m \right)\).
11. Áp dụng định lí Pythagoras:
- Ta có \(AM^2 = AO^2 + OM^2 = \left( \dfrac{{1}{2}AB \right)^2 + \left( \dfrac{{1}{2}AB \right)^2 = \dfrac{{AB^2}}{2}\).
- Thay vào công thức ở bước 10, ta được:
\(\dfrac{{AB^2}}{2} = \left( \dfrac{{AC}}{{CD}} \right)^2 \times \dfrac{{CB_1}}{{CA_1}} \times \left( h + 1.2m \right)\), hay \(AB^2 = 2 \times \left( \dfrac{{AC}}{{CD}} \right)^2 \times \dfrac{{CB_1}}{{CA_1}} \times \left( h + 1.2m \right)\).
12. Áp dụng định lí tỉ số trong tam giác đồng dạng:
- Ta có tỉ số \(\dfrac{{AC}}{{CD}} = \dfrac{{AC_1}}{{CD_1}}\) và \(\dfrac{{CB_1}}{{CA_1}} = \dfrac{{CB}}{{CA}}\).
- Từ đó suy ra \(\left( \dfrac{{AC}}{{CD}} \right)^2 = \left( \dfrac{{AC_1}}{{CD_1}} \right)^2\) và \(\left( \dfrac{{CB_1}}{{CA_1}} \right)^2 = \left( \dfrac{{CA}}{{CB}} \right)^2\).
- Thay vào công thức ở bước 11, ta được:
\(AB^2 = 2 \times \left( \dfrac{{AC_1}}{{CD_1}} \right)^2 \times \left( \dfrac{{CA}}{{CB}} \right)^2 \times \left( h + 1.2m \right)\).
13. Thay các giá trị đã biết vào và giải phương trình, ta có:
\(12^2 = 2 \times \left( \dfrac{{1.2}}{{CD_1}} \right)^2 \times \left( \dfrac{{CA}}{{CB}} \right)^2 \times \left( h + 1.2m \right)\).
Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị của h.

Câu trả lời: Chiều cao CD của tháp là... (thay vào giá trị tìm được).

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?

11 vote

Cảm ơn 3 Trả lời.4 tháng trước

Các câu trả lời