cho a =1/3 - 2/3*2 + 3/3*3 - 4/3*4 + 5/3*5 - ...... + 2023/3*2023 - 2024/3*2024 hãy so sánh a với 20/3
Các bẹn thân yêu ơi, mình đang bế tắc với câu hỏi này, Bạn nào có thể chỉ mình cách làm với?

Để giải bài toán này, ta có thể nhận thấy rằng mẫu số của từng phân số trong dãy là 3, và tử số của từng phân số là từ 1 đến 2024.

Ta thấy rằng a = 1/3 - 2/3*2 + 3/3*3 - 4/3*4 + 5/3*5 - ...... + 2023/3*2023 - 2024/3*2024
= 1/3 + 1/3 + 1/3 + ... - 2 - 4 - 6 - ... + 3 + 6 + 9 + ... - 4 - 8 - 12 - ... + 5 + 10 + 15 + ... - ... - 2,024 * 2,024

Như vậy, a = (1 + 2 + 3 + ... + 2023) / 3 - (2 + 4 + 6 + ... + 2024) + (3 + 6 + 9 + ... + 2022) / 3 - (4 + 8 + 12 + ... + 2020) + ... - 2024 * 2024

Ta biết rằng tổng của dãy số từ 1 đến n bằng n * (n + 1) / 2, và tổng của dãy số chẵn từ 2 đến n bằng n * (n + 1), ta có:

a = [2023 * 2024 / 2 - 2024] / 3 - 2 * [1012 * 1013] + [674 * 675 / 2] / 3 - 4 * [506 * 507] + .... - 2024 * 2024

a = (2023 * 2024 / 6 - 2024) - 2 * (1012 * 1013) + (674 * 675 / 6) - 4 * (506 * 507) + ... - 2024 * 2024

a = (1/3) * (2023 * 2024 - 6 * 2024 - 6 * 1012 * 1013 - 6 * 674 * 675 - ... - 6 * 2024 * 2024)

a = (1/3) * (2023 * 2024 - 6 * (2024 + 1012 * 1013 + 674 * 675 + ... + 2024))

a = (1/3) * (2023 * 2024 - 6 * (2024 * (1 + 1012 + 674 + ... + 2024)))

a = (1/3) * (2023 * 2024 - 6 * 2024 * (1 + 1012 + 674 + ... + 2024))

a = (1/3) * (2023 * 2024 - 6 * 2024 * 1013 * 1014 / 2)

a = (1/3) * [2024 * (2023 - 3 * 1013 * 1014)]

a = (1/3) * [2024 * 5]

a = 2020

Vậy, a = 2020

Ta có thể thấy rằng a > 20/3.

Ta nhận thấy a có dạng tổng của các phần tử liên tiếp dạng 1/3*(n^2 - n) với n chạy từ 1 đến 2024. Lấy n = 2024 ta có a = 1/3*(2024^2 - 2024) = -***/3. So sánh với 20/3 ta thấy -***/3 không lớn hơn 20/3.

Ta biến đổi biểu thức a thành: a = 1/3(1-2+3-4+...+2023-2024) = 1/3*(-2023) = -674. So sánh với 20/3 ta thấy -674 < 20/3.

Ta biến đổi biểu thức a thành: a = (1/3*1) - (2/3*2) + (3/3*3) - (4/3*4) + ... + (2023/3*2023) - (2024/3*2024) = 1/3(1-2+3-4+...+2023-2024) = 1/3*(1-2024) = -2007/3. So sánh với 20/3 ta thấy -2007/3 < 20/3.