(1,5 điểm) Cho hàm số $y=x\tan x$. Chứng minh: ${{x}^{2}}y''=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)$. 
Mọi người ạ, mình rất cần sự giúp đỡ của các Bạn để giải quyết câu hỏi này. Cám ơn các Bạn nhiều lắm!

Phương pháp giải:

Để chứng minh ${{x}^{2}}y''=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)$, ta cần tính đạo hàm bậc 2 của hàm số $y=x\tan x$:

Bước 1: Tính đạo hàm bậc 1 của $y=x\tan x$:
$$y'=x{\sec}^{2}x+\tan x$$

Bước 2: Tính đạo hàm bậc 2 của $y=x\tan x$:
$$y''=(1{\sec}^{2}x+2x\tan x)+{\sec}^{2}x=1+3x\tan x+x{\sec}^{2}x$$

Bước 3: Tính ${{x}^{2}}y''$:
$${{x}^{2}}y''={{x}^{2}}+3{{x}^{3}}\tan x+x{{\sec}^{2}}x$$

Bước 4: Tính $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)$:
$$2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)=2\left( x^{2}+(x\tan x)^{2} \right)\left( 1+x\tan x \right)=2\left( x^{2}+x^{2}{\sec}^{2}x \right)\left( 1+x\tan x \right)$$

Sau khi so sánh hai biểu thức trên, ta có thể kết luận rằng ${{x}^{2}}y''=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( 1+y \right)$.

Vậy ta đã chứng minh hằng đẳng đúng.

Kết quả sau khi rút gọn là: 3x^3*tan(x)+x^3*sec^2(x)+x*tan(x)=2x^2*(1+x^2*tan^2(x))*1+2*x^2*tan(x).

Sau đó, ta thay y' và y'' vào biểu thức x^2*y''=2*(x^2+y^2)*(1+y), ta được x^2*(x(3tan(x)sec^2(x)+sec^2(x))+tan(x))=2*(x^2+(x*tan(x))^2)*(1+(x*tan(x))), tức là x^3(3tan(x)sec^2(x)+sec^2(x))+x*tan(x)=2*(x^2+x^2*tan^2(x))*(1+x*tan(x)).

Tiếp theo, ta tính được y''=x(sec^2(x)+2tan(x)sec^2(x))+tan(x)+2xsec^2(x) hay y''=x(3tan(x)sec^2(x)+sec^2(x))+tan(x).

Bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của tích, ta tính được y'=x*tan(x)+x*sec^2(x) hay y'=x(tan(x)+sec^2(x)).