Chứng tỏ đa thức sau vô nghiệm: N(x)=-5x4-9x2-4 (phân tích ra hằng đẳng thức)
Chào mọi người, mình đang gặp chút vấn đề khó khăn và rất cần sự giúp đỡ của các Bạn. Ai biết thì giúp mình với ạ!

Để chứng tỏ đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm, ta cần chứng minh rằng đa thức này không thể bằng 0 với mọi giá trị của x.

Cách 1: Phân tích đa thức ra thành tích của các đại lượng tuyến tính.

Ta có: N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 = (-x^2)(5x^2 + 4) - 4 = -x^2(√5x)^2 - 2^2.

Để đa thức N(x) bằng 0, ta cần phải xác định x sao cho -x^2(√5x)^2 - 2^2 = 0. Vì (-x^2)(√5x)^2 - 2^2 không thể bằng 0 với mọi giá trị của x, nên ta kết luận đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm.

Cách 2: Sử dụng định lý nhỏ Fermat.

Nếu đa thức N(x) có nghiệm, thì tồn tại một số thực k sao cho N(k) = 0. Ta thay k vào đa thức N(x), ta có:

N(k) = -5k^4 - 9k^2 - 4 = 0.

Điều này không thể xảy ra với mọi giá trị của k, nên đa thức N(x) vô nghiệm.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm.

Để chứng tỏ đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm, ta giả sử rằng tồn tại một giá trị x sao cho N(x) = 0. Ta thay x = a vào đa thức N(x) và giả định N(a) = 0. Ta được -5a^4 - 9a^2 - 4 = 0. Đặt y = a^2, ta có phương trình -5y^2 - 9y - 4 = 0. Phương trình này có delta = 9^2 - 4*(-5)*(-4) > 0, do đó có hai nghiệm y1 và y2. Tuy nhiên, đối với mọi giá trị y, ta đều có -5y^2 < 0 và -9y < 0, nên không tồn tại giá trị y sao cho -5y^2 - 9y - 4 = 0. Điều này đưa đến một mâu thuẫn, vì vậy giả định ban đầu là không đúng. Do đó, ta kết luận đa thức N(x) vô nghiệm.

Để chứng tỏ đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm, ta sử dụng định lý nghiệm cực đại và cực tiểu của đa thức. Do đa thức N(x) là một đa thức bậc 4 (chẵn) nên có nghiệm tại một giá trị x khi và chỉ khi tồn tại giá trị x sao cho N'(x) = 0. Tuy nhiên, tính đạo hàm của N(x) ta được N'(x) = -20x^3 - 18x = -2x(10x^2 + 9) không bao giờ bằng 0 với mọi giá trị x thực. Vì vậy, ta kết luận đa thức N(x) vô nghiệm.

Để chứng tỏ đa thức N(x) = -5x^4 - 9x^2 - 4 vô nghiệm, ta cần chứng minh rằng không tồn tại giá trị x nào sao cho N(x) = 0. Ta phân tích đa thức N(x) thành (-5x^2 - 1)(x^2 + 4) như vậy, để đa thức N(x) có nghiệm thì cả hai đa thức đều phải có nghiệm. Tuy nhiên, đa thức (-5x^2 - 1) không có nghiệm vì delta < 0, và đa thức (x^2 + 4) cũng không có nghiệm với x thực. Do đó, ta kết luận đa thức N(x) vô nghiệm.