Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ hai đường cao BE, CF, chúng cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó b) Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên BH và CH sao cho HE=HI, HF=HK. Chứng minh E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn c) Gọi M là trung điểm của AH. Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm M thuộc đường tròn đi qua 4 điểm E, F, I, K(KHÔNG DÙNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP)

Để giải câu hỏi trên, ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh rằng 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có tam giác BCE và tam giác CBF đều vuông tại B và C.
- Do đó, từ tính chất của tam giác vuông, ta có BF = BE.
- Tương tự, ta có CF = CE.
- Vậy ta có BC là đường trung tuyến của tam giác ECF, suy ra điểm H là trung điểm của EF.
- Như vậy, ta có tam giác BEC đều, từ đó suy ra 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có HE = HI và HF = HK.
- Dễ dàng nhận thấy tứ giác HEIK là hình thoi.
- Vậy ta có góc HEI = góc IHE và góc HKF = góc FKH.
- Do đó, tứ giác HEIK là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, ta có tứ giác HFKE là tứ giác nội tiếp.
- Vậy ta suy ra điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.

c) Để tìm điều kiện của tam giác ABC:
- Để điểm M thuộc đường tròn đi qua 4 điểm E, F, I, K, ta có thể xem xét về điều kiện tứ giác nội tiếp.
- Tính chất của tứ giác nội tiếp: "Một tứ giác bất kỳ có thể nội tiếp được khi và chỉ khi tổng các góc đối diện bằng 180 độ."
- Áp dụng tính chất này vào tứ giác MIKE, ta có điều kiện cần và đủ cho tam giác ABC.
- Kết hợp với điều kiện cơ bản của tam giác cân tại A, ta sẽ có được điều kiện của tam giác ABC để điểm M thuộc đường tròn đi qua 4 điểm E, F, I, K.

Vậy là ta đã giải câu hỏi trên. Nếu có thể, ta cũng có thể sử dụng phương pháp khác như sử dụng định lí Ptolemy hoặc chỉ ra mối quan hệ giữa các góc để giải bài toán này.