Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn: a + b + c = 3.
CMR: \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Mình cần một tay giúp đây! Ai có thể đóng góp ý kiến để mình giải quyết câu hỏi này được không?
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 10
- Chọn ngẫu nhiên năm lá bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá.Xác suất để...
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) : a) Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua...
- Câu 1. Đội văn nghệ của nhà trường gồm $6$ học sinh lớp 12A, $4$ học sinh lớp 12B và $3$ học sinh...
- Cho tam giác ABC biết A(2; 0), B(1; -3), C(3; -1). Viết phương trình tổng quát...
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d 4x+2y+1=0 và điểm A(1;1) Xác định tọa độ hình...
- Biến đổi tổng thành tích 1- cosx
- Biết rằng parabol (P): y= ax2+bx-7 đi qua điểm A(-1;-6) và có trục đối xứng X=\(-\frac{1}{3}\) . Tính giá trị của biểu...
- Trong lớp 10A1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học...
Câu hỏi Lớp 10
- Cân bằng các phương trình sau theo phương pháp thăng bằng electron. Cho biết chất...
- Từ 1 đỉnh tháp cao 20m, người ta buông 1 vật. Sau 2s thì người ta lại buông vật thứ 2 ở tầng...
- Cho biết tính chất hóa học cơ bản của nguyên tố clo. Giải thích vì sao nguyên tố clo có tính chất hóa học cơ bản đó....
- Viết các câu hỏi có liên quan đến Phương pháp luận biện chứng, siêu hình...
- 1 vật chuyển động thẳng chậm dần đều từ A sau thời gian B nó dừng lại tại C, sau thời gian t/2 vật đi đến B với...
- 1. Rút ra đặc điểm của nền văn minh Văn Lang - Âu Lạc. Tại sao nói nền văn minh Văn Lang -...
- Câu 2 (trang 20, SGK Ngữ Văn 10, tập một) Đề bài: Chú ý chi tiết miêu tả ngoại...
- Một vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn đều quanh Trái Đất mỗi vòng hết 86 phút. Vệ tinh bay cách mặt đất 290km. Cho biết...
Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt câu hỏix
- ²
- ³
- √
- ∛
- ·
- ×
- ÷
- ±
- ≈
- ≤
- ≥
- ≡
- ⇒
- ⇔
- ∈
- ∉
- ∧
- ∨
- ∞
- Δ
- π
- Ф
- ω
- ↑
- ↓
- ∵
- ∴
- ↔
- →
- ←
- ⇵
- ⇅
- ⇄
- ⇆
- ∫
- ∑
- ⊂
- ⊃
- ⊆
- ⊇
- ⊄
- ⊅
- ∀
- ∠
- ∡
- ⊥
- ∪
- ∩
- ∅
- ¬
- ⊕
- ║
- ∦
- ∝
- ㏒
- ㏑
Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Schwarz. Phương pháp giải:Bằng định lý Cauchy-Schwarz, ta có:\((a^2 + b^2 + c^2)((\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq (\sqrt{\frac{a^2}{a+b^2}} + \sqrt{\frac{b^2}{b+c^2}} + \sqrt{\frac{c^2}{c+a^2}})^2\)Ta cần chứng minh rằng: \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq \frac{9}{a+b+c} = 3\)Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-HM (\(\frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\))Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.Vậy ta có: \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\)Kết luận: ta đã chứng minh được bất đẳng thức đã cho. Đáp án: \(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Bạn cũng có thể áp dụng phương pháp chứng minh bằng định lý AM-GM: tính tổng số trung bình cộng của các số thực và áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng phần tử trong tổng số trung bình, sau đó cộng lại để chứng minh bài toán.
Cách giải khác, ta có thể biến đổi bài toán thành việc chứng minh tồn tại một hàm số f(a, b, c) thỏa mãn điều kiện đạo hàm riêng của f theo a, b, c lớn hơn hoặc bằng 0 và điểm cực tiểu của hàm số đó là điểm cần chứng minh.
Ta cũng có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng định lý Cauchy: (a^2/(a+b^2) + b^2/(b+c^2) + c^2/(c+a^2))((a^2(a+b^2) + b^2(b+c^2) + c^2(c+a^2))) >= (a+b+c)^2. Tiếp tục sử dụng điều kiện a + b + c = 3 và các biến đổi tương tự để chứng minh bài toán.
Ta có thể chứng minh bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (a^2/(a+b^2) + b^2/(b+c^2) + c^2/(c+a^2))(a(a+b^2) + b(b+c^2) + c(c+a^2)) >= (a+b+c)^2. Sau đó áp dụng điều kiện a + b + c = 3 và tiếp tục biến đổi để chứng minh điều phải chứng minh.