Cho các số nguyên a,b, c thỏa mãn( 1/a + 1/b + 1/c)2 = 1/a2 + 1/b2 + 1/c2 . Chứng minh rằng: abc chia hết cho 2 và a3 +b3 +c3 chia hết cho abc
Chào các Bạn, mình đang gặp một chút vấn đề và thực sự cần sự trợ giúp của mọi người. Bạn nào biết cách giải quyết không, có thể chỉ giúp mình được không?

Để giải câu hỏi trên:

Phương pháp giải 1:
- Ta có (1/a + 1/b + 1/c)^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
- Mở đường ngoặc ta được: 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a) = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
- Rút gọn ta có: 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a) = 0
- Vì a, b, c là các số nguyên nên ta suy ra: 1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a = 0
- Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì ta có: xy + yz + zx = 0
- Nhân cả hai vế của phương trình này với xyz ta được: xyz(xy + yz + zx) = 0
- Từ đó suy ra: x^2*y^2*z^2 + xyz(y^2*z^2 + z^2*x^2 + x^2*y^2) = 0
- Rút gọn ta có: xyz(x^2*y^2 + y^2*z^2 + z^2*x^2) = 0
- Vì x, y, z đều là các số nguyên dương nên ta suy ra: x^2*y^2 + y^2*z^2 + z^2*x^2 = 0
- Vì tích của hai số không âm là không âm và tích của hai số dương là dương nên ta suy ra: x^2*y^2 = y^2*z^2 = z^2*x^2 = 0
- Từ đó suy ra: xy = yz = zx = 0
- Do đó, ta có hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: xy = 0, suy ra x = 0 hoặc y = 0.
* Nếu x = 0 thì 1/a = 0, suy ra a = 0. Điều này là không thể vì a là số nguyên.
* Nếu y = 0 thì 1/b = 0, suy ra b = 0. Điều này là không thể vì b là số nguyên.
+ Trường hợp 2: yz = 0, suy ra y = 0 hoặc z = 0.
* Nếu y = 0 thì 1/b = 0, suy ra b = 0. Điều này là không thể vì b là số nguyên.
* Nếu z = 0 thì 1/c = 0, suy ra c = 0. Điều này là không thể vì c là số nguyên.

- Vậy không có số nguyên a, b, c thỏa mãn đề bài.

Phương pháp giải 2:
- Ta có (1/a + 1/b + 1/c)^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
- Mở đường ngoặc ta được: 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a) = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
- Rút gọn ta có: 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a) = 0
- Vì abc≠0 nên ta có: 1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a = 0
- Ta có (a^3 + b^3 + c^3) - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
- Từ đề bài ta có: (1/a + 1/b + 1/c)^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(a^2b^2c^2) = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = a^2b^2c^2/(a^2b^2c^2) + 1/b^2 + 1/c^2
=> a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/b^2 + 1/c^2
=> a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a)
- Vì 2(1/a*1/b + 1/b*1/c + 1/c*1/a) = 0 nên ta có: a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = 0
- (a^3 + b^3 + c^3) - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
=> (a^3 + b^3 + c^3) - 3abc = 0 (vì a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca)
=> a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
- Vậy a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho abc và abc chia hết cho 2.

Bước 1: Chứng minh abc chia hết cho 2

Giả sử a,b,c khác 0. Ta chứng minh abc chia hết cho 2 và a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho abc bằng phương pháp giả định.

Cách 1: