Tìm nguyên hàm của hàm số sau: 2x-1/ex
Chào cả nhóm, mình biết mình không giỏi lắm ở chuyện này, nhưng mình cũng biết mình có những người bạn thông minh ở đây. Cần một tay giúp đỡ gấp!

Để tính nguyên hàm của hàm số \( \frac{2x-1}{e^x} \), ta có thể sử dụng phương pháp tích phân bằng phép tích phân theo phép biến đổi.

Cách giải 1:
Đặt \( u = 2x - 1 \), ta có \( du = 2dx \).
Khi đó, nguyên hàm của hàm số ban đầu sẽ được tính bằng cách tích phân:
\[ \int \frac{2x-1}{e^x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{e^x} 2 dx = \frac{1}{2} \int \frac{u}{e^x} du \]
\[ = \frac{1}{2} \int u e^{-x} du = -\frac{1}{2} ue^{-x} + \frac{1}{2} \int e^{-x} du \]
\[ = -\frac{1}{2} (2x - 1)e^{-x} + \frac{1}{2} \int e^{-x} du = -x e^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x} + C \]

Vậy nguyên hàm của hàm số \( \frac{2x-1}{e^x} \) là \(-x e^{-x} + \frac{1}{2} e^{-x} + C\).

Cách giải 2:
Ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
\[ \int \frac{2x - 1}{e^x} dx = \int \frac{2x}{e^x} dx - \int \frac{1}{e^x} dx \]
\[ = -2\int xd(e^{-x}) - \int e^{-x} dx \]
\[ = -2xe^{-x} + 2\int e^{-x} dx - e^{-x} + C \]
\[ = -xe^{-x} - e^{-x} + C \]

Vậy nguyên hàm của hàm số \( \frac{2x-1}{e^x} \) là \(-xe^{-x} - e^{-x} + C\).

Cách khác để tính nguyên hàm của hàm số 2x-1/ex là sử dụng tích phân từng phần theo quy tắc dễ nhận biết. Đầu tiên, tích phân 2x ta được x^2 + C1. Tiếp theo, tích phân -1/ex ta có -ln|ex| + C2. Kết hợp hai kết quả trên, ta có nguyên hàm của hàm số là x^2 - ln|ex| + C.

Ta có thể giải bài toán này bằng cách phân tích hàm số theo từng phần. Đầu tiên, tích phân phần tử 2x, ta được ∫2xdx = x^2 + C1. Tiếp theo, tích phân phần tử -1/ex, ta có ∫(-1/ex)dx = -ln|ex| + C2. Kết hợp hai kết quả trên, ta được nguyên hàm của hàm số là x^2 - ln|ex| + C.

Để tìm nguyên hàm của hàm số 2x-1/ex ta sử dụng công thức tích phân của hàm số: ∫(f(x)g'(x))dx = f(x)g(x) - ∫(f'(x)g(x))dx. Áp dụng công thức này, ta có: ∫(2x-1/ex)dx = x^2 - ln|ex| + C = x^2 - x + C (với C là hằng số)