Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các  điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M ∈ AB).  Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Chào các pro, hiện mình đang cần support nhanh chóng để giải đáp câu hỏi này. Ai có thể chia sẻ kiến thức của mình không?

Phương pháp giải:

Để chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông cân và hình chữ nhật.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên PC. Ta có tam giác ABC vuông tại C nên PC là đường cao của tam giác ABC, do đó tam giác PCQ cũng vuông tại C. Từ đó, ta có CP^2 = PQ.PC (định lí thứ 2 định lý Pythagoras).

Vì tam giác ABC là vuông cân tại C nên ta có AC = BC. Do đó, ta có CP = CQ.

Khi đó, ta có CP^2 = CQ.CP = PQ.PC = PH^2. Tức là tam giác PHC vuông tại H.

Và do PH // BC nên tam giác PHC và tam giác ABC đồng dạng với nhau.

Từ đây, ta có HC = AC = BC.

Vậy tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Câu trả lời: Tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Suy diễn từ AP = CQ => AP^2 = CQ^2 => AM.AC = CQ^2 => AM = CQ và AM^2 = CQ^2. Tương tự, ta có CM^2 = CQ^2. Từ đó suy ra tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Ta có góc CPM = góc QPC = 90 độ và góc CPQ = góc CQP = 45 độ. Do đó, tứ giác PCQM là hình chữ nhật với đường chéo PQ.

Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật: CM^2 = AM.AC = AP^2 = CQ^2 = CQ.CB = CQ^2 = PQ.PM => PQ = CM, MQ = CP. Vậy tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Kẻ PN vuông góc với BC tại N. Ta có tứ giác PCQN là hình chữ nhật vì góc CPQ = góc CQP = 45 độ, và góc QPN = góc PQC = 90 độ.