Bài 10 (trang 104 SGK Toán 9 Tập 1) Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BD$ và $CE$. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn. b) $DE<BC$.

Đỗ Minh Đức

Để chứng minh rằng bốn điểm $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng Định lý Đường tròn nội tiếp tam giác. Đầu tiên, ta cần chứng minh được tam giác $BEC$ và tam giác $BDC$ đều vuông tại $E$ và $D$ để từ đó suy ra bốn điểm này thuộc cùng một đường tròn.
- Ta có $BD \perp AC$ và $CE \perp AB$ (vì là đường cao) $\Rightarrow \angle ABD = \angle ACB$ và $\angle AEC = \angle ABC$
- Như vậy, $\angle BEC = 180^\circ - \angle AEC - \angle ABC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = \angle BDC$
- Do đó, $BDEC$ là hình chữ nhật (tứ giác có cả 4 góc vuông). Vì vậy, $B, E, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh $DE < BC$, ta cần chú ý rằng trong tam giác vuông $BDC$, ta có đỉnh cạnh $BC$ là cạnh huyền và đỉnh cạnh $BD$ là cạnh đối diện với góc nhọn. Theo Định lý Pythagore, ta có $BD^2 + DC^2 = BC^2$. Tuy nhiên, trong hình chữ nhật $BDEC$, ta có $BD = EC$, nên $BD^2 + DC^2 = 2 \cdot BD^2$. Do đó, $BC = BD \sqrt{2}$. Vậy,
$DE = BC / \sqrt{2} < BC$, suy ra $DE < BC$.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của bài toán.