Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Nội dung Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội Bản PDF

Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Tôi xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội.

Đề thi bao gồm các câu hỏi sau:

Câu 1: Cho dãy số \( (a_{n}) \) thỏa mãn \( a_{1} = 7 \) và \( a_{n+1} = a_{n}(3a_{n} - 22n + 1) \) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của \( a_{2023} \) thì \( p - 1 \) chia hết cho 3.

Câu 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS k AB và JT k AC. a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN. b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của PB và PC lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.

Câu 3: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử là một tiếp tuyến của ω sao cho vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF k AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.

Hãy chuẩn bị tinh thần và rất nhiều sự kiên nhẫn để giải quyết các câu hỏi thú vị này!