Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn $(O)$ có các dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, các tia $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm $E$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: a) $EH = EK$ ; b) $EA = EC$.
Mọi người ơi, mình rất cần trợ giúp của các Bạn lúc này. Có ai sẵn lòng chia sẻ kiến thức giúp mình vượt qua vấn đề này không?

Phương pháp giải:

- Vẽ đường tròn $(O)$ với tâm $O$ và bán kính $r$.
- Vẽ hai dây $AB$ và $CD$ bằng nhau, tạo thành góc $AOB$ và $COD$ và cắt nhau tại điểm $E$.
- Vẽ đường trung tuyến $HK$ của tam giác $EAB$ và $ECD$, trung điểm của $AB$ là $H$, trung điểm của $CD$ là $K$.

Câu trả lời:
a) Ta có:
- $H$ là trung điểm của $AB$ nên $AH = HB$
- $K$ là trung điểm của $CD$ nên $CK = KD$
- Do đó, $AH = CK$
- Ta có $AE = DE$ (hai dây $AB$ và $CD$ bằng nhau) và $AO = OD$ (đường phân giác góc $AOD$) nên tam giác $AEO$ và $DEO$ là hai tam giác cân.
- Từ đó, ta có $AO = EO$ và $DO = EO$.
- Khi đó, ta có $AH = CK = \frac{1}{2}AC$ và $AO = EO = \frac{1}{2}AC$
- Suy ra, $AH = AO$ và $CK = CO$
- Vậy, $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $AOC$.
- Do đó, $AH = EK$
- Từ đó, suy ra $EH = EK$

b) Ta đã chứng minh $EH = EK$ ở câu a), và ta biết $HK$ là đường trung tuyến của tam giác $EAB$ và $ECD$.
- Nên $EH = EK$ và $HK$ là đường trung tuyến nên $AH = CK$.
- Khi đó, $AE$ cắt $HK$ tại đường trung bình $AK$ của tam giác $AOC$.
- Vậy, $EA = EC$ (cùng là đường trung bình của tam giác $AOC$).

Cách 3: Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn - vì AB = CD nên chu vi của đường tròn (O) mà AB và CD là đường kính bằng 2πr, với r là bán kính đường tròn. Vì EH là cạnh chung của tam giác vuông EOH và tam giác vuông EOK, nên ta có chu vi tam giác EOH = chu vi tam giác EOK. Từ đó suy ra EH = EK.

Cách 2: Sử dụng tính chất của tam giác đẳng cấp - vì AB = CD và đã biết AH = HB = CK = KD, nên tam giác AEH và tam giác CKE là các tam giác đẳng cấp. Do đó, ta có EH = EA và EK = EC. Khi đó, ta cũng có EH = EK.

Cách 1: Sử dụng công thức Pythagoras - trong tam giác vuông, tam giác có đường cao bằng đường trung bình, ta có CH=KH=1/2AB=1/2CD. Do đó, EH = EC và EK = EA. Vì EH = EC và EK = EA, nên EH = EK.