Với a3+b3+c3=3abc .Tính P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
Hey các Bạn, tôi đang mắc kẹt ở đây rồi. Có ai đó có thể giúp tôi một tay được không? Mọi sự giúp đỡ sẽ được đánh giá cao!

Phương pháp giải:
- Thay a = x, b = y, c = z
- Ta có x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
- Từ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz, ta suy ra (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0
- Vì (x + y + z) không bằng 0, nên x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0
- Áp dụng công thức (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca), ta có (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)
- Kết hợp với x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0, ta có (x + y + z)^2 = 3(xy + yz + zx)

Giải câu hỏi:
- Ta có P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) = (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x)
- Từ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc, ta có x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
- Từ (x + y + z)^2 = 3(xy + yz + zx), suy ra x + y + z = 0 hoặc xy + yz + zx = 0
+ Nếu x + y + z = 0, thì P = (1 + 0/y)(1 + y/z)(1 + z/x) = 1
+ Nếu xy + yz + zx = 0, thì P = (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) = (1 - y^2/xz) (1 + y/z)(1 + z/x) = (1 + y/z)(1 + z/y) = (1 + x/y)(1 + z/x) = 1 + y/x + z/y + x^2/xy = 1 + y/x + z/y + x/y = 1
- Vậy kết quả là P = 1.

Câu trả lời 1:
Gọi X = (1 + a/b), Y = (1 + b/c), Z = (1 + c/a)
Ta có tổng 3 số X, Y và Z:
X + Y + Z = (1 + a/b) + (1 + b/c) + (1 + c/a)
= (a/b + b/c + c/a) + (1 + 1 + 1)
= (a^2c + ab^2 + bc^2)/(abc) + 3
= a^2c + ab^2 + bc^2 + 3abc/(abc)

Vì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc, nên a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
Từ đó suy ra (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0
Do đó a + b + c = 0 hoặc a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0

Nếu a + b + c = 0 thì (a^2c + ab^2 + bc^2 + 3abc)/(abc) = 0
Từ đó ta có X + Y + Z = 0

Nếu a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0 thì (a^2c + ab^2 + bc^2 + 3abc)/(abc) = ab + bc + ac + 3
Từ đó ta có X + Y + Z = ab + bc + ac + 3

Vậy có 2 kết quả là X + Y + Z = 0 hoặc X + Y + Z = ab + bc + ac + 3.

Câu trả lời 2:
Ta có a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
=> (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0
=> a + b + c = 0 hoặc a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0

Nếu a + b + c = 0 thì P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) = ((b + c)/b)((c + a)/c)((a + b)/a)
= (1 + b/c)(1 + c/a)(1 + a/b)
= YXZ
= 1

Nếu a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0, ta không thể đưa ra các giá trị cụ thể cho P mà chỉ có thể biết được P = ab + bc + ac + 3.

Vậy câu trả lời là P = 1 hoặc P = ab + bc + ac + 3.

Câu trả lời 3:
Dựa vào công thức cộng hai lũy thừa:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Áp dụng công thức trên cho a^3 + b^3 + c^3 = 3abc, ta được:
(a + b)(a^2 - ab + b^2) + c^3 = 3abc
a^2 - ab + b^2 + c^3/(a + b) = 3c

Áp dụng công thức tương tự cho c^3 + a^3, ta có:
c^2 - ca + a^2 + b^3/(c + a) = 3b

Áp dụng công thức tương tự cho b^3 + c^3, ta có:
b^2 - bc + c^2 + a^3/(b + c) = 3a

Khi đó, ta có:
P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
= ((b + a)/(b))(1 + b/c)(1 + c/a)
= (a + b)/b * (b + c)/c * (c + a)/a
= [(a + b)(b + c)(c + a)] / (abc)

Đặt A = a + b, B = b + c, C = c + a, ta có A + B + C = 2(a + b + c) = 0
Đặt X = A - B, Y = B - C, Z = C - A, ta có X + Y + Z = 0

Áp dụng các công thức trên vào P, ta có:
P = [ABC / (abc)] = [XYZ / (abc)]

Do X + Y + Z = 0, nên P = 0/abc = 0

Vậy câu trả lời là P = 0.

Câu trả lời 4:
Ta có a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
=> a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Áp dụng công thức (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 6abc
=> (a + b + c)^3 = 3abc + 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 6abc
=> (a + b + c)^3 = 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 9abc

Đặt T = (a + b + c)^3, ta có T = 3(ab(a + b) + bc(b + c) + ac(c + a)) + 9abc
=> T/9 = (a + b + c)(ab + bc + ac) + 9abc/9
=> T/9 = 3abc + 3abc + 9abc/9
=> T = 18abc

Áp dụng công thức:
P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) = (abc + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc) / (abc)
= a^2c + ab^2 + bc^2 + 2abc + ac^2 + b^2c

Ta có: P = a^2c + ab^2 + bc^2 + 2abc + ac^2 + b^2c = P

Vậy câu trả lời là P = 18abc.