Chứng minh : \(\sqrt{2}\) không viết được dưới dạng phân số.
Bạn nào có kinh nghiệm về chủ đề này không? Mình mong nhận được sự giúp đỡ từ Mọi người. Mình sẽ rất biết ơn!

Phương pháp giải:

Ta sẽ giả sử rằng \(\sqrt{2}\) có thể viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó a, b là hai số nguyên không có ước chung lớn hơn 1. Ta có thể giả sử a, b đều là số nguyên dương vì nếu không, ta sẽ đổi dấu cho cả a và b.

Theo giả thiết, ta có \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\)

=> \(2 = \frac{a^2}{b^2}\)

=> \(2b^2 = a^2\)

Do đó, ta thấy rằng a^2 chia hết cho 2, vậy a cũng chia hết cho 2.

=> a = 2k, với k là số nguyên dương (do a, b không có ước chung lớn hơn 1)

Thay a = 2k vào công thức ta được:

\(2b^2 = (2k)^2\)

\(2b^2 = 4k^2\)

\(b^2 = 2k^2\)

=> b^2 chia hết cho 2, vậy b cũng chia hết cho 2.

Như vậy, a và b đều chia hết cho 2, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là a, b không có ước chung lớn hơn 1. Do đó, không thể viết \(\sqrt{2}\) dưới dạng phân số.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là: \(\sqrt{2}\) không viết được dưới dạng phân số.

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để chứng minh, tức là nếu tồn tại một tam giác vuông cạnh huyền bằng √2, thì √2 không thể viết dưới dạng phân số. Giả sử tồn tại tam giác vuông với cạnh góc vuông bằng √2 và 2 cạnh kia có độ dài a và b. Theo định lý Pythagoras, ta có a^2 + b^2 = (√2)^2 = 2. Tuy nhiên, không tồn tại số a và b sao cho a^2 + b^2 = 2. Do đó, √2 không viết được dưới dạng phân số.

Giả sử √2 là một phân số bậc tối giản (tức là tử số và mẫu số không có ước chung nào). Ta có (√2)^2 = 2, từ đó suy ra 2 = a^2/b^2, với a, b là số nguyên dương. Điều này đồng nghĩa với việc 2b^2 = a^2. Do đó, a^2 chia hết cho 2 nên a cũng chia hết cho 2. Khi đó, a^2 chia hết cho 4, từ đó suy ra b^2 chia hết cho 2, do đó b cũng chia hết cho 2. Như vậy, a và b có ước chung 2, trái với giả định là a và b không có ước chung nào. Vì vậy, giả định ban đầu là sai.