Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nẳm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi ?
Mình cảm thấy khá là lo lắng và không biết phải làm thế nào với câu hỏi này. Bạn nào thông tuệ giúp mình với, mình sẽ cảm kích mãi mãi!

Phương pháp giải:
- Khi vẽ cát tuyến qua điểm M cắt đường tròn tại hai điểm A và B, ta có thể kẻ đường thẳng MO đi qua tâm O của đường tròn và điểm M. Đường thẳng MO sẽ cắt cát tuyến tại điểm N.
- Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có góc MAB = góc MNB.
- Khi tính toán, ta sẽ thấy góc MAB = góc MNB = góc MON.
- Ta có tích MA.MB = cos(MAB).MA.BN = cos(MON).MA.BN = cos(MN.BO).AN.BM = cos(MAN).AN.BM = AM.MB = hằng số.

Câu trả lời:
Tích MA.MB là không đổi.

Gọi P là giao điểm của cát tuyến AMB với đường thẳng đi qua O vuông góc với AMB. Ta có OP là đường phân giác của góc AMB nên OA/OB = PA/PB (định lý thales trong tam giác OAB). Như vậy, tích MA.MB = OA.OB = PA.PB không đổi.

Kẻ đường phân giác góc AMB, giao đường tròn tại E. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Ta có MA/MH = sin ∠AMH, MB/MH = sin ∠BMH. Nhưng ∠AMH = ∠BMH nên MA/MH = MB/MH, suy ra tích MA.MB = MH² không đổi.

Kẻ đường thẳng qua O song song với cát tuyến AMB, giao đường tròn tại C và D. Ta có AC = BD (cùng là cung tròn cùng tọa độ), suy ra tích MA.MB = MC.MD không đổi.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, ta có MA = MB = MI, do tam giác AMB cân tại M. Suy ra tích MA.MB = MI.MI không đổi.