Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(4;-2;4), B(-2;6;4), C(5;-1;-6) . Xét các điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy)  sao cho A M B ^ = 90 ° , đoạn thẳng CD  có độ dài lớn nhất bằng A.  73 B.  5 3 C. 10 D. 8
Có ai có thể hướng dẫn tôi qua trở ngại này không? Tôi đang hơi lúng túng và cần một lời khuyên.

Để giải câu hỏi này, ta cần sử dụng kiến thức về hình học không gian và tính chất của các vector trong không gian.

Gọi M(x, y, 0) là tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy).

Theo đề bài, ta cần tìm điểm M sao cho góc giữa hai vector AB và AM bằng 90 độ.

Đầu tiên, ta sẽ tính các vecto AB và AM.

- Vector AB: AB = B - A = (-2 - 4, 6 - (-2), 4 - 4) = (-6, 8, 0).
- Vector AM: AM = M - A = (x - 4, y - (-2), 0 - 4) = (x - 4, y + 2, -4).

Theo định nghĩa, hai vector vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Vậy ta có phương trình:

AB · AM = 0
(-6, 8, 0) · (x - 4, y + 2, -4) = 0
-6(x - 4) + 8(y + 2) + 0(-4) = 0
-6x + 24 + 8y + 16 = 0
-6x + 8y + 40 = 0.

Suy ra, phương trình mặt phẳng (Oxy) là -6x + 8y + 40 =0.

Để tìm tọa độ của điểm M, ta thay x = 0 vào phương trình trên:

-6(0) + 8y + 40 = 0
8y = -40
y = -5.

Vậy tọa độ của điểm M là (0, -5, 0).

Tiếp theo, ta tính độ dài đoạn thẳng CD. Để tính được độ dài này, ta cần biết tọa độ của điểm C.

Đầu tiên, ta tính vector BC: BC = C - B = (5 - (-2), -1 - 6, -6 - 4) = (7, -7, -10).

Độ dài đoạn thẳng CD chính bằng độ dài của vector BC:

CD = |BC| = sqrt(7^2 + (-7)^2 + (-10)^2) = sqrt(49 + 49 + 100) = sqrt(198) ≈ 4.47.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất là khoảng 4.47.

Đáp án: B. 4.47.